كيفية استخدام 'If and Only If' في الرياضيات

عند القراءة عن الإحصائيات والرياضيات ، فإن إحدى العبارات التي تظهر بانتظام هي "إذا وفقط". تظهر هذه العبارة بشكل خاص في عبارات النظريات الرياضية أو البراهين. ولكن ماذا يعني هذا البيان بالتحديد؟

لفهم "إذا وفقط إذا" ، يجب أن نعرف أولاً المقصود بعبارة شرطية. البيان الشرطي هو بيان يتكون من بيانين آخرين ، سنشير إليه بواسطة P و Q. لتشكيل بيان شرطي ، يمكننا أن نقول "إذا P ثم Q."

فيما يلي أمثلة على هذا النوع من التصريحات:

• إذا كانت السماء تمطر في الخارج ، فأخذ مظلتي معي في مشي.
• إذا كنت تدرس بجد ، فسوف تكسب أ.
• إذا ن قابل للقسمة على 4 ، ثم ن قابل للقسمة على 2.

ثلاثة بيانات أخرى تتعلق بأي بيان شرطي. هذه تسمى العكس ، والعكس ، وموانع الحمل. نقوم بتشكيل هذه العبارات عن طريق تغيير ترتيب P و Q من الشرطي الأصلي وإدخال كلمة "لا" للعكس والعكس.

نحن بحاجة فقط للنظر في الحديث هنا. يتم الحصول على هذا البيان من الأصل بقول "إذا Q ثم P." لنفترض أننا نبدأ بالشرط "إذا كانت تمطر في الخارج ، فعندئذ أنا خذ مظلتي معي في نزهة ". والعكس في هذا البيان هو "إذا أخذت مظلتي معي في مسيرتي ، فإنها تمطر في الخارج."

نحتاج فقط إلى النظر في هذا المثال لإدراك أن الشرطية الأصلية ليست منطقية مثل العكس. الخلط بين هذين البيانين يعرف باسم خطأ معاكس. يمكن للمرء أن يأخذ مظلة في نزهة على الرغم من أنها قد لا تمطر في الخارج.

كمثال آخر ، نعتبر الشرطي "إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4 ، فهو قابل للقسمة على 2." هذا البيان صحيح بشكل واضح. ومع ذلك ، فإن العكس من هذا البيان "إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 2 ، عندئذٍ يمكن القسمة على 4" خطأ. نحتاج فقط إلى النظر إلى رقم مثل 6. على الرغم من أن 2 يقسم هذا الرقم ، لا 4. في حين أن البيان الأصلي صحيح ، فإن العكس ليس كذلك.

هذا يقودنا إلى بيان ثنائي الشرط ، والذي يُعرف أيضًا ببيان "إذا وفقط إذا". تحتوي بعض العبارات الشرطية أيضًا على محادثات صحيحة. في هذه الحالة ، قد نشكل ما يُعرف بالبيان الثنائي الشرطي. يكون البيان الثنائي الشرطي بالشكل:

"إذا كانت P ثم Q وإذا Q ثم P."

منذ هذا اعمال بناء هو أمر محرج إلى حد ما ، خاصة عندما يكون P و Q عبارة عن عبارات منطقية خاصة بهم ، نقوم بتبسيط عبارة ثنائية الشرطية باستخدام العبارة "إذا وفقط إذا." بدلاً من قول "إذا P ثم Q ، وإذا Q ثم P" نقول بدلاً من ذلك "P if وفقط إذا Q." هذا البناء يلغي بعض وفرة.

للحصول على مثال لعبارة "if and only if" التي تتضمن إحصائيات ، لا تبحث أبعد من حقيقة تتعلق بعينة الانحراف المعياري. نموذج الانحراف المعياري لمجموعة البيانات يساوي صفر إذا وفقط إذا كانت جميع قيم البيانات متطابقة.

نقسم هذا البيان الثنائي الشرطي إلى شرط مشروط وعكسه. ثم نرى أن هذا البيان يعني كلاً مما يلي:

• إذا كان الانحراف المعياري صفرًا ، فإن جميع قيم البيانات متطابقة.
• إذا كانت جميع قيم البيانات متطابقة ، فإن الانحراف المعياري يساوي صفر.

إذا كنا نحاول إثبات وجود شرطيين ، فإننا في معظم الأحيان ننتهي بتقسيمها. هذا يجعل دليلنا يتكون من جزئين. جزء واحد نثبت أنه "إذا P ثم Q." الجزء الآخر من الدليل الذي نحتاجه هو "إذا Q ثم P."

تتعلق العبارات ثنائية الشروط بشروط ضرورية وكافية. تأمل البيان "إذا كان اليوم هو عيد الفصح، ثم غدا الاثنين. " اليوم هو عيد الفصح يكفي ليوم غد ، ومع ذلك ، ليس من الضروري. اليوم قد يكون أي يوم الأحد عدا عيد الفصح ، وغدا سيكون يوم الاثنين.

تُستخدم عبارة "if and if if" بشكل شائع بما يكفي في الكتابة الرياضية بحيث يكون لها اختصار خاص بها. في بعض الأحيان يتم اختصار الشرط في عبارة "if and if if" إلى "iff". وبالتالي فإن العبارة "P if and only if Q" تصبح "P iff Q."