منحنيات الجرس تظهر طوال الإحصائيات. القياسات المتنوعة مثل أقطار البذور وأطوال زعانف السمك وعشرات على SAT وأوزان أوراق فردية من ماعون من الورق تشكل جميعها منحنيات جرس عندما يتم رسمها بيانيًا. الشكل العام لجميع هذه المنحنيات هو نفسه. لكن كل هذه المنحنيات مختلفة لأنه من غير المرجح أن يكون لأي منها نفس المتوسط أو الانحراف المعياري. تكون منحنيات الجرس ذات الانحرافات المعيارية الكبيرة واسعة ، وتكون منحنيات الجرس ذات الانحرافات المعيارية الصغيرة نحيفة. يتم تحويل منحنيات الجرس ذات الوسائل الأكبر إلى اليمين أكثر من المنحنيات ذات الوسائل الأصغر.
مثال
لجعل هذا أكثر واقعية ، دعنا نتظاهر بأننا نقيس أقطار 500 حبة من الذرة. ثم نسجل هذه البيانات ونحللها ونرسمها. وجد أن مجموعة البيانات على شكل منحنى الجرس ومتوسط 1.2 سم مع انحراف معياري 0.4 سم. لنفترض الآن أننا نفعل الشيء نفسه مع 500 حبة ، ونجد أن قطرها يبلغ متوسطه 0.8 سم مع انحراف معياري قدره 0.04 سم.
تم رسم منحنيات الجرس من كلتا مجموعتي البيانات أعلاه. يتوافق المنحنى الأحمر مع بيانات الذرة ويتوافق المنحنى الأخضر مع بيانات الفول. كما نرى ، تختلف المراكز وينتشر من هذين المنحنيين.
من الواضح أن هذين من منحني جرس مختلف. هم مختلفون لأن وسائلهم و انحرافات معيارية لا تتطابق. نظرًا لأن أي مجموعات بيانات مثيرة للاهتمام نلتقي بها يمكن أن يكون لها أي رقم موجب كإنحراف معياري ، وأي رقم للوسيط ، فنحن بالفعل نخدش سطح لانهائية عدد منحنيات الجرس. هذا كثير من المنحنيات والكثير من التعامل معها. ما هو الحل؟
منحنى بيل خاص جدا
هدف واحد من الرياضيات هو تعميم الأشياء كلما أمكن ذلك. في بعض الأحيان تكون عدة مشاكل فردية حالات خاصة لمشكلة واحدة. هذه الحالة التي تنطوي على منحنيات الجرس هي مثال عظيم على ذلك. بدلاً من التعامل مع عدد لا نهائي من منحنيات الجرس ، يمكننا ربطهم جميعًا بمنحنى واحد. يسمى منحنى الجرس الخاص هذا بمنحنى الجرس القياسي أو التوزيع العادي القياسي.
منحنى الجرس القياسي له متوسط صفر وانحراف معياري واحد. يمكن مقارنة أي منحنى جرس آخر لهذا المعيار عن طريق أ حساب مباشر.
ميزات التوزيع العادي القياسي
جميع خصائص أي منحنى جرس للتوزيع العادي القياسي.
- ليس للتوزيع العادي القياسي متوسط صفر فحسب ، بل متوسط وسطي للصفر. هذا هو مركز المنحنى.
- يظهر التوزيع العادي القياسي تناظر المرآة عند الصفر. نصف المنحنى إلى يسار الصفر ونصف المنحنى إلى اليمين. إذا كان المنحنى مطويًا على طول خط رأسي عند الصفر ، فإن كلا النصفين يتطابقان تمامًا.
- يتبع التوزيع العادي القياسي قاعدة 68-95-99.7 ، التي تعطينا طريقة سهلة لتقدير ما يلي:
- ما يقرب من 68 ٪ من جميع البيانات ما بين -1 و 1.
- ما يقرب من 95 ٪ من جميع البيانات ما بين -2 و 2.
- ما يقرب من 99.7 ٪ من جميع البيانات ما بين -3 و 3.
لماذا نهتم
في هذه المرحلة ، قد نسأل ، "لماذا تهتم بمنحنى جرس قياسي؟" قد يبدو الأمر وكأنه تعقيد لا داعي له ، ولكن منحنى الجرس القياسي سيكون مفيدًا بينما نواصل في الإحصائيات.
سنجد أن نوعًا واحدًا من المشاكل في الإحصائيات يتطلب منا العثور على مناطق أسفل أجزاء من أي منحنى جرس نواجهه. إن منحنى الجرس ليس شكلًا لطيفًا للمناطق. انها ليست مثل مستطيل او مثلث قائم سهلة صيغ المنطقة. يمكن أن يكون العثور على أجزاء من منحنى الجرس أمرًا صعبًا ، في الواقع ، لدرجة أننا سنحتاج إلى استخدام بعض حساب التفاضل والتكامل. إذا لم نقم بتوحيد منحنيات الجرس الخاصة بنا ، فسنحتاج إلى إجراء بعض التفاضل والتكامل في كل مرة نريد فيها العثور على منطقة. إذا قمنا بتوحيد منحنياتنا ، فقد تم القيام بجميع أعمال حساب المناطق لنا.