فهم تعريف الاختلاف المتماثل

نظرية المجموعات يستخدم عددًا من العمليات المختلفة لإنشاء مجموعات جديدة من المجموعات القديمة. هناك مجموعة متنوعة من الطرق لتحديد عناصر معينة من مجموعات معينة مع استبعاد عناصر أخرى. والنتيجة هي عادة مجموعة تختلف عن تلك الأصلية. من المهم أن يكون لديك طرق محددة جيدًا لبناء هذه المجموعات الجديدة ، ومن الأمثلة على ذلك اتحاد, تداخلو فرق مجموعتين. العملية المحددة التي ربما تكون أقل شهرة تسمى الفرق المتماثل.

لفهم تعريف الاختلاف المتماثل ، يجب علينا أولاً فهم كلمة "أو". على الرغم من صغرها ، فإن كلمة "أو" لها استخدامان مختلفان في اللغة الإنجليزية. يمكن أن تكون حصرية أو شاملة (وقد تم استخدامها فقط حصريًا في هذه الجملة). إذا قيل لنا أننا قد نختار من أ أو ب ، والمعنى حصري ، فقد يكون لدينا خيار واحد فقط من الخيارين. إذا كان المعنى شاملاً ، فقد يكون لدينا A ، أو قد يكون لدينا B ، أو قد يكون لدينا كل من A و B.

عادة ما يرشدنا السياق عندما نواجه الكلمة أو لا نحتاج حتى إلى التفكير في الطريقة التي يتم استخدامها بها. إذا سئلنا إذا كنا نرغب في الكريم أو السكر في بلدنا قهوة، من الواضح أنه قد يكون لدينا كل من هذين. في الرياضيات ، نريد القضاء على الغموض. لذا فإن كلمة "أو" في الرياضيات لها معنى شامل.

وبالتالي فإن كلمة "أو" تُستخدم بالمعنى الشامل في تعريف النقابة. اتحاد المجموعتين A و B هو مجموعة العناصر في A أو B (بما في ذلك العناصر الموجودة في كلا المجموعتين). ولكن يصبح من المفيد أن يكون لديك عملية تعيين تقوم بإنشاء المجموعة التي تحتوي على عناصر في A أو B ، حيث يتم استخدام "أو" بالمعنى الحصري. هذا ما نسميه الفرق المتماثل. الاختلاف المتماثل للمجموعتين A و B هو تلك العناصر في A أو B ، ولكن ليس في كل من A و B. بينما يختلف التدوين للاختلاف المتماثل ، سنكتب هذا كـ أ ∆ ب

للحصول على مثال للاختلاف المتماثل ، سننظر في المجموعات أ = {1،2،3،4،5} و ب = {2,4,6}. الفرق المتماثل بين هذه المجموعات هو {1،3،5،6}.

يمكن استخدام عمليات المجموعة الأخرى لتحديد الفرق المتماثل. من التعريف أعلاه ، من الواضح أننا قد نعبر عن الاختلاف المتماثل لـ A و B كفرق اتحاد A و B وتقاطع A و B. في الرموز نكتب: أ ∆ ب = (أ ب ب) - (أ ب ب).

يساعد التعبير المكافئ ، باستخدام بعض عمليات المجموعة المختلفة ، على تفسير اختلاف الاسم المتماثل. بدلاً من استخدام الصيغة أعلاه ، قد نكتب الفرق المتماثل على النحو التالي: (أ - ب) ∪ (ب - أ). هنا نرى مرة أخرى أن الاختلاف المتماثل هو مجموعة العناصر في A ولكن ليس B ، أو في B ولكن ليس A. وهكذا استبعدنا تلك العناصر في تقاطع A و B. من الممكن أن يثبت حسابياً أن هذين الصيغتين متكافئتان ويشيران إلى نفس المجموعة.

يوحي اختلاف الاسم المتماثل بوجود ارتباط بين الفرق بين مجموعتين. هذا الاختلاف المحدد واضح في كلتا الصيغتين أعلاه. في كل منها ، تم حساب فرق مجموعتين. ما يميز الفرق المتماثل عن الفرق هو تناظره. عن طريق البناء ، يمكن تغيير أدوار A و B. هذا لا ينطبق على الفرق بين مجموعتين.

للتأكيد على هذه النقطة ، مع القليل من العمل سنرى تناظر الاختلاف المتماثل منذ رأينا أ ∆ ب = (أ - ب) ∪ (ب - أ) = (ب - أ) ∪ (أ - ب) = ب ∆ أ.