احتمالية اختيار رقم أولي عشوائيًا

نظرية الأعداد هي فرع من الرياضيات تهتم بمجموعة الأعداد الصحيحة. نحن نقيد أنفسنا إلى حد ما من خلال القيام بذلك لأننا لا ندرس الأرقام الأخرى مباشرة ، مثل غير المنطقي. ومع ذلك ، أنواع أخرى من أعداد حقيقية يستخدم. بالإضافة إلى ذلك ، فإن موضوع الاحتمالية له العديد من الروابط والتقاطعات مع نظرية الأعداد. واحدة من هذه الروابط لها علاقة بتوزيع الأعداد الأولية. قد نسأل بشكل أكثر تحديدًا ، ما هو الاحتمال الذي يتم اختيار عدد صحيح عشوائيًا من 1 إلى س هو رقم أولي؟

كما هو الحال مع أي مشكلة رياضية ، من المهم فهم ليس فقط الافتراضات التي يتم إجراؤها ، ولكن أيضًا تعريفات جميع المصطلحات الرئيسية في المشكلة. لهذه المشكلة ، نحن نفكر في الأعداد الصحيحة الإيجابية ، بمعنى الأعداد الصحيحة 1 ، 2 ، 3 ،... يصل إلى رقم معين س. نختار عشوائيا أحد هذه الأرقام ، وهذا يعني أن كل شيء س من المحتمل أن يتم اختيارهم.

نحن نحاول تحديد احتمالية اختيار رقم أولي. وبالتالي نحن بحاجة إلى فهم تعريف العدد الأولي. الرقم الأولي هو عدد صحيح موجب له عاملين بالضبط. هذا يعني أن القاسم الوحيد للأرقام الأولية هو واحد والعدد نفسه. لذا فإن 2،3 و 5 هي بدائل ، لكن 4 و 8 و 12 ليست أولية. نلاحظ أنه نظرًا لأنه يجب أن يكون هناك عاملين في الرقم الأولي ، فإن الرقم 1 هو

الحل لهذه المشكلة واضح للأعداد المنخفضة س. كل ما نحتاجه هو ببساطة حساب عدد الأعداد الأولية التي تكون أقل من أو تساوي س. نقسم عدد الأعداد الأولية أقل من أو يساوي س بالرقم س.

على سبيل المثال ، للعثور على احتمالية اختيار أولي من 1 إلى 10 يتطلب منا تقسيم عدد الأعداد الأولية من 1 إلى 10 على 10. الأعداد 2 ، 3 ، 5 ، 7 هي أرقام أولية ، لذا فإن احتمال تحديد قيمة أولي هو 4/10 = 40٪.

يمكن العثور على احتمالية اختيار رئيس من 1 إلى 50 بطريقة مماثلة. الأعداد الأولية الأقل من 50 هي: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 و 47. هناك 15 برايمز أقل من أو يساوي 50. وبالتالي فإن احتمالية اختيار أولي بشكل عشوائي هو 15/50 = 30٪.

يمكن تنفيذ هذه العملية ببساطة عن طريق حساب الأعداد الأولية طالما لدينا قائمة من الأعداد الأولية. على سبيل المثال ، هناك 25 برايمز أقل من أو يساوي 100. (وبالتالي فإن احتمال اختيار رقم عشوائي من 1 إلى 100 هو 25/100 = 25٪.) ومع ذلك ، إذا لم يكن لدينا قائمة من الأعداد الأولية ، قد يكون من الصعب حسابياً تحديد مجموعة الأعداد الأولية التي تكون أقل من أو تساوي رقم س.

إذا لم يكن لديك عدد من الأعداد الأولية أقل من أو يساوي س، ثم هناك طريقة بديلة لحل هذه المشكلة. يتضمن الحل نتيجة حسابية تعرف باسم نظرية الأعداد الأولية. هذا بيان حول التوزيع العام للأعداد الأولية ويمكن استخدامه لتقريب الاحتمال الذي نحاول تحديده.

تنص نظرية العدد الأولي على أن هناك تقريبًا س / ln (س) الأعداد الأولية التي تكون أقل من أو تساوي س. هنا ln (س) يشير إلى اللوغاريتم الطبيعي لـ سأو بعبارة أخرى اللوغاريتم ذو الأساس الرقم ه. كقيمة س يزيد التقريب يتحسن ، بمعنى أننا نرى انخفاضًا في الخطأ النسبي بين عدد الأعداد الأولية أقل من س والتعبير س / ln (س).

يمكننا استخدام نتيجة نظرية العدد الأولي لحل المشكلة التي نحاول معالجتها. نحن نعرف من خلال نظرية العدد الأولي أن هناك تقريبًا س / ln (س) الأعداد الأولية التي تكون أقل من أو تساوي س. علاوة على ذلك ، هناك ما مجموعه س أعداد صحيحة موجبة أقل من أو تساوي س. لذا فإن احتمال أن يكون الرقم المحدد عشوائيًا في هذا النطاق هو الأولي (س / ln (س) ) /س = 1 / ln (س).

يمكننا الآن استخدام هذه النتيجة لتقريب احتمالية الاختيار العشوائي لرقم أولي من الرقم الأول مليار أعداد صحيحة. نحن نحسب اللوغاريتم الطبيعي للمليار ونرى أن ln (1،000،000،000) يساوي تقريبًا 20.7 و 1 / ln (1،000،000،000) تقريبًا 0.0483. وبالتالي لدينا احتمال 4.83٪ للاختيار العشوائي لرقم أولي من أول مليار عدد صحيح.