نتعلم في وقت مبكر إلى حد ما في مهنة الرياضيات لدينا أن عاملي، مُعرَّف للأعداد الصحيحة غير السلبية ن، هي طريقة لوصف الضرب المتكرر. يشار إليه باستخدام علامة التعجب. فمثلا:
الاستثناء الوحيد لهذا التعريف هو صفر عاملي ، حيث 0! = 1. عندما ننظر إلى هذه القيم للعامل ، يمكننا الاقتران ن مع ن!. سيعطينا هذا النقاط (0 ، 1) ، (1 ، 1) ، (2 ، 2) ، (3 ، 6) ، (4 ، 24) ، (5 ، 120) ، (6 ، 720) ، وهكذا على.
تعريف وظيفة جاما معقد للغاية. أنها تنطوي على صيغة معقدة تبدو غريبة للغاية. تستخدم دالة جاما بعض حساب التفاضل والتكامل في تعريفها ، وكذلك في رقم ه على عكس الوظائف المألوفة مثل كثيرات الحدود أو الدوال المثلثية ، تُعرف دالة جاما بأنها تكامل غير صحيح لوظيفة أخرى.
يمكن استخدام تعريف دالة جاما لتوضيح عدد من الهويات. واحدة من أهم هذه that ( ض + 1 ) = ض Γ( ض ). يمكننا استخدام هذا ، وحقيقة أن Γ (1) = 1 من الحساب المباشر:
لكننا لسنا بحاجة إلى إدخال أرقام صحيحة فقط في دالة جاما. يوجد أي رقم مركب ليس عددًا صحيحًا سالبًا في مجال دالة غاما. هذا يعني أنه يمكننا توسيع العامل إلى أرقام غير الأعداد الصحيحة غير السالبة. من هذه القيم ، إحدى النتائج الأكثر شهرة (والمدهشة) هي أن Γ (1/2) = √π.
نتيجة أخرى مشابهة للنتيجة الأخيرة هي أن Γ (1/2) = -2π. في الواقع ، تنتج وظيفة جاما دائمًا ناتجًا لمضاعف الجذر التربيعي لـ pi عندما يتم إدخال مضاعف فردي لـ 1/2 في الوظيفة.
تظهر وظيفة جاما في العديد من مجالات الرياضيات التي تبدو غير ذات صلة. على وجه الخصوص ، فإن تعميم العامل الذي توفره وظيفة جاما مفيد في بعض التوافقات ومشكلات الاحتمال. بعض التوزيعات الاحتمالية يتم تعريفها مباشرة من حيث وظيفة غاما. على سبيل المثال ، يتم ذكر توزيع غاما من حيث وظيفة غاما. يمكن استخدام هذا التوزيع لنمذجة الفاصل الزمني بين الزلازل. توزيع الطالب، والتي يمكن استخدامها للبيانات حيث لدينا انحراف معياري لمجتمع غير معروف ، كما يتم تحديد توزيع مربع كاي من حيث وظيفة غاما.