استخدم الاحتمال الشرطي لحساب التقاطعات

ال احتمال مشروط لحدث ما هو احتمال أن حدثأ يحدث بالنظر إلى أن حدث آخر ب حدث بالفعل. يتم احتساب هذا النوع من الاحتمال بتقييد فضاء العينة التي نعمل معها على المجموعة فقط ب.

يمكن إعادة كتابة صيغة الاحتمال الشرطي باستخدام بعض الجبر الأساسي. بدلاً من الصيغة:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B) ،

نضرب كلا الجانبين ف (ب) والحصول على الصيغة المعادلة:

ف (أ | ب) س P (B) = P (A ∩ B).

يمكننا بعد ذلك استخدام هذه الصيغة للعثور على احتمالية وقوع حدثين باستخدام الاحتمال الشرطي.

يكون هذا الإصدار من الصيغة أكثر فائدة عندما نعرف الاحتمال الشرطي لـ أ معطى ب وكذلك احتمالية الحدث ب. إذا كان هذا هو الحال ، فيمكننا حساب احتمالية تداخل من أ معطى ب ببساطة عن طريق ضرب احتمالين آخرين. إن احتمال تقاطع حدثين هو رقم مهم لأنه احتمال حدوث الحدثين.

بالنسبة لمثالنا الأول ، افترض أننا نعرف القيم التالية للاحتمالات: P (A | B) = 0.8 و ف (ب) = 0.5. احتمال ف (أ ∩ ب) = 0.8 × 0.5 = 0.4.

بينما يوضح المثال أعلاه كيفية عمل الصيغة ، قد لا تكون أكثر توضيحًا لمدى فائدة الصيغة المذكورة أعلاه. لذلك سننظر في مثال آخر. هناك مدرسة ثانوية تضم 400 طالب ، 120 منهم من الذكور و 280 من الإناث. من الذكور ، 60 ٪ مسجلين حاليا في دورة الرياضيات. 80٪ من الإناث مسجلات في مادة الرياضيات. ما هو احتمال أن تكون الطالبة المختارة عشوائياً أنثى مسجلة في مقرر رياضيات؟

هنا نسمح F يشير إلى الحدث "الطالب المختار أنثى" و م حدث "التحق الطالب المختار بدورة الرياضيات." نحن بحاجة إلى تحديد احتمال تقاطع هذين الحدثين ، أو P (M ∩ F).

توضح لنا الصيغة أعلاه ذلك P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). احتمال أن يتم اختيار أنثى ف (واو) = 280/400 = 70%. الاحتمال الشرطي أن يكون الطالب الذي تم اختياره مسجلاً في دورة الرياضيات ، بالنظر إلى أنه تم اختيار أنثى P (M | F) = 80%. نضرب هذه الاحتمالات معًا ونرى أن لدينا احتمال 80٪ × 70٪ = 56٪ لاختيار طالبة مسجلة في مقرر رياضيات.

تعطينا الصيغة أعلاه المتعلقة بالاحتمالية المشروطة واحتمال التقاطع طريقة سهلة لمعرفة ما إذا كنا نتعامل مع حدثين مستقلين. منذ الأحداث أ و ب مستقلة إذا P (A | B) = P (A)، يتبع من الصيغة أعلاه أن الأحداث أ و ب تكون مستقلة إذا وفقط في حالة:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

لذا إذا عرفنا ذلك ف (أ) = 0.5, ف (ب) = 0.6 و ف (أ ∩ ب) = 0.2 ، دون معرفة أي شيء آخر يمكننا تحديد أن هذه الأحداث ليست مستقلة. نعرف هذا لأن ف (أ) × ف (ب) = 0.5 × 0.6 = 0.3. هذا ليس احتمال تقاطع أ و ب.