كيفية إثبات القاعدة التكميلية في الاحتمال

العديد من النظريات في الاحتمال يمكن استنتاجها من البديهيات الاحتمالية. يمكن تطبيق هذه النظريات لحساب الاحتمالات التي قد نرغب في معرفتها. تُعرف إحدى هذه النتائج بقاعدة تكميلية. هذا البيان يسمح لنا بحساب احتمالية حدثأ من خلال معرفة احتمال المكمل أ^ج. بعد تحديد قاعدة المكمل ، سنرى كيف يمكن إثبات هذه النتيجة.

تكملة الحدث أ يشار إليه ب أ^ج. تكملة أ هل جلس من جميع العناصر في المجموعة العالمية ، أو فضاء العينة S ، ليست عناصر المجموعة أ.

يتم التعبير عن القاعدة التكميلية بالمعادلة التالية:

ف (أ^ج) = 1 - ف (أ)

نرى هنا أن احتمالية وقوع حدث واحتمال تكملته يجب أن تساوي 1.

لإثبات القاعدة التكميلية ، نبدأ بمسلمات الاحتمالية. يتم افتراض هذه البيانات دون دليل. سنرى أنه يمكن استخدامها بشكل منهجي لإثبات بياننا بشأن احتمال تكملة الحدث.

• البديهية الأولى للاحتمال هي أن احتمال أي حدث غير سالب عدد حقيقي.
• البديهية الثانية للاحتمال هي احتمال مساحة العينة بأكملها س هو واحد. رمزيا نكتب P (س) = 1.
• البديهية الثالثة للاحتمال تنص على أنه إذا أ و ب هي حصرية المتبادل (بمعنى أن لديهم تقاطع فارغ) ، ثم نذكر احتمال اتحاد هذه الأحداث مثل P (أ ش ب ) = P (أ) + P (ب).

بالنسبة للقاعدة التكميلية ، لن نحتاج إلى استخدام البديهية الأولى في القائمة أعلاه.

لإثبات بياننا نعتبر الأحداث أو أ^ج. من نظرية المجموعات ، نعلم أن هاتين المجموعتين لديهما تقاطع فارغ. وذلك لأن العنصر لا يمكن أن يكون في وقت واحد أ وليس في أ. نظرًا لوجود تقاطع فارغ ، فإن هاتين المجموعتين هما لا يعتمدوا على بعض.

اتحاد الحدثين أ و أ^ج مهمة أيضًا. وتشكل هذه أحداث شاملة ، وهذا يعني أن اتحاد من هذه الأحداث كلها مساحة العينة س.

هذه الحقائق ، إلى جانب البديهيات تعطينا المعادلة

1 = P (س) = P (أ ش أ^ج) = P (أ) + P (أ^ج) .

المساواة الأولى ترجع إلى البديهية الاحتمالية الثانية. المساواة الثانية هي بسبب الأحداث أ و أ^ج شاملة. المساواة الثالثة بسبب البديهية الاحتمالية الثالثة.

يمكن إعادة ترتيب المعادلة أعلاه إلى الشكل الذي ذكرناه أعلاه. كل ما يجب علينا القيام به هو طرح احتمالية أ من طرفي المعادلة. هكذا

1 = P (أ) + P (أ^ج)

تصبح المعادلة

ف (أ^ج) = 1 - ف (أ).

بالطبع ، يمكننا أيضًا التعبير عن القاعدة بالقول:

ف (أ) = 1 - ف (أ^ج).

كل هذه المعادلات الثلاث طرق متساوية لقول نفس الشيء. نرى من هذا الدليل كيف أن اثنتين من البديهيات وبعض النظريات الثابتة تقطع شوطا طويلا لمساعدتنا على إثبات عبارات جديدة تتعلق بالاحتمالية.