كيفية استخدام قاعدة تكميلية في الإحصائيات

في الإحصائيات ، فإن القاعدة التكميلية هي نظرية توفر صلة بين احتمالية حدث واحتمالية تكملة الحدث بطريقة إذا كنا نعرف أحد هذه الاحتمالات ، فإننا نعلم الآخر تلقائيًا.

تصبح القاعدة التكميلية مفيدة عندما نحسب احتمالات معينة. في كثير من الأحيان يكون احتمال وقوع حدث فوضويًا أو معقدًا لحسابه ، في حين أن احتمال تكميله أبسط بكثير.

قبل أن نرى كيف يتم استخدام قاعدة المكمل ، سنحدد على وجه التحديد ما هي هذه القاعدة. نبدأ بقليل من التدوين. تكملة الحدث أ، تتكون من جميع العناصر في فضاء العينةس ليست عناصر من المجموعة أ، يشار إليه ب أج.

يتم ذكر قاعدة المكمل على أنها "مجموع احتمالية الحدث واحتمال مكمله يساوي 1" ، كما هو موضح في المعادلة التالية:

ف (أ^ج) = 1 - ف (أ)

يوضح المثال التالي كيفية استخدام قاعدة المكمل. سيتضح أن هذه النظرية ستسرّع وتبسط الحسابات الاحتمالية.

لنفترض أننا نقلب ثماني عملات عادلة - ما هو احتمال ظهور رأس واحد على الأقل؟ إحدى الطرق لمعرفة ذلك هي حساب الاحتمالات التالية. يتم شرح مقام كل واحد بحقيقة وجود 2⁸ = 256 نتيجة ، كل منها محتملة على حد سواء. كل ما يلي صيغة لنا تركيبات:

• احتمال قلب رأس واحد هو C (8،1) / 256 = 8/256.
• احتمال قلب رأسين بالضبط هو C (8،2) / 256 = 28/256.
• احتمال قلب ثلاثة رؤوس بالضبط هو C (8،3) / 256 = 56/256.
• احتمال قلب أربعة رؤوس بالضبط هو C (8،4) / 256 = 70/256.
• احتمال قلب خمسة رؤوس بالضبط هو C (8،5) / 256 = 56/256.
• احتمال قلب ستة رؤوس بالضبط هو C (8،6) / 256 = 28/256.
• احتمال قلب سبعة رؤوس بالضبط هو C (8،7) / 256 = 8/256.
• احتمال قلب ثمانية رؤوس بالضبط هو C (8،8) / 256 = 1/256.

وهذه هي لا يعتمدوا على بعض الأحداث ، لذلك نجمع الاحتمالات معًا باستخدام واحد مناسب قاعدة إضافة. هذا يعني أن احتمال وجود رأس واحد على الأقل هو 255 من 256.

نحسب الآن نفس الاحتمال باستخدام قاعدة تكميلية. تكملة الحدث "نحن نقلب رأسًا واحدًا على الأقل" هو الحدث "لا يوجد رؤوس". هناك طريقة واحدة لحدوث ذلك ، تعطينا احتمالية 1/256. نستخدم قاعدة المكمل ونجد أن الاحتمال المطلوب هو ناقص واحد من 256 ، وهو ما يعادل 255 من 256.

يوضح هذا المثال ليس فقط فائدة ولكن أيضا قوة قاعدة تكميلية. على الرغم من أنه لا يوجد شيء خاطئ في حسابنا الأصلي ، فقد كان متورطًا تمامًا ويتطلب خطوات متعددة. في المقابل ، عندما استخدمنا قاعدة تكميلية لهذه المشكلة ، لم تكن هناك العديد من الخطوات حيث يمكن أن تسوء الحسابات.