فهم المعادلات المعادلة في الجبر

المعادلات المكافئة هي أنظمة المعادلات التي لها نفس الحلول. تحديد وحل المعادلات المعادلة هي مهارة قيمة ، وليس فقط في الطبقة الجبر ولكن أيضا في الحياة اليومية. ألقِ نظرة على أمثلة المعادلات المكافئة ، وكيفية حلها لمتغير واحد أو أكثر ، وكيف يمكنك استخدام هذه المهارة خارج الفصل الدراسي.

الماخذ الرئيسية

  • المعادلات المكافئة هي معادلات جبرية لها حلول أو جذور متطابقة.
  • تؤدي إضافة أو طرح نفس العدد أو التعبير إلى طرفي المعادلة إلى معادلة مكافئة.
  • ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد غير الصفري ينتج عنه معادلة معادلة.

المعادلات الخطية مع متغير واحد

أبسط الأمثلة على المعادلات المكافئة لا تحتوي على أي متغيرات. على سبيل المثال ، هذه المعادلات الثلاث تعادل بعضها البعض:

  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5
  • 5 + 0 = 5

يعتبر التعرف على هذه المعادلات مكافئًا أمرًا رائعًا ، ولكنه ليس مفيدًا بشكل خاص. في العادة ، تطلب منك مشكلة المعادلة المكافئة حل المتغير لمعرفة ما إذا كانت هي نفسها (نفس المشكلة) جذر) كواحد في معادلة أخرى.

على سبيل المثال ، المعادلات التالية معادلة:

  • س = 5
  • -2x = -10

في كلتا الحالتين ، س = 5. كيف لنا أن نعرف هذا؟ كيف يمكنك حل هذه المعادلة "-2x = -10"؟ الخطوة الأولى هي معرفة قواعد المعادلات المكافئة:

  • مضيفا أو طرح نفس العدد أو التعبير على طرفي المعادلة ينتج عنه معادلة معادلة.
  • ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد غير الصفري ينتج عنه معادلة معادلة.
  • رفع طرفي المعادلة على نفس القوة الغريبة أو أخذ نفس الجذر الفردي سينتج عنه معادلة مكافئة.
  • إذا كان كلا طرفي المعادلة غيرسلبي، رفع طرفي المعادلة لنفس القوة الزوجية أو أخذ نفس الجذر سيمنح معادلة مكافئة.

مثال

وضع هذه القواعد موضع التنفيذ ، حدد ما إذا كانت هاتان المعادلتان متكافئتان:

  • س + 2 = 7
  • 2x + 1 = 11

لحل هذا ، تحتاج إلى العثور على "x" لكل منهما معادلة. إذا كانت "x" هي نفسها لكلتا المعادلتين ، فعندها تكون مكافئة. إذا كانت "x" مختلفة (على سبيل المثال ، المعادلات لها جذور مختلفة) ، فإن المعادلات ليست معادلة. للمعادلة الأولى:

  • س + 2 = 7
  • x + 2 - 2 = 7 - 2 (طرح كلا الجانبين بنفس العدد)
  • س = 5

للمعادلة الثانية:

  • 2x + 1 = 11
  • 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (قم بطرح كلا الجانبين بنفس العدد)
  • 2x = 10
  • 2x / 2 = 10/2 (قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد)
  • س = 5

لذلك ، نعم ، المعادلتان متساويتان لأن x = 5 في كل حالة.

المعادلات العملية المكافئة

يمكنك استخدام معادلات مكافئة في الحياة اليومية. انها مفيدة بشكل خاص عند التسوق. على سبيل المثال ، أنت تحب قميصًا معينًا. تقدم شركة واحدة القميص مقابل 6 دولارات وتشحن 12 دولارًا ، بينما تقدم شركة أخرى القميص مقابل 7.50 دولارات وتشحن 9 دولارات. أي قميص لديه أفضل سعر؟ كم عدد القمصان (ربما ترغب في الحصول عليها للأصدقاء) التي يجب أن تشتريها حتى يكون السعر هو نفسه بالنسبة لكلتا الشركتين؟

لحل هذه المشكلة ، اجعل "x" هو عدد القمصان. بادئ ذي بدء ، اضبط x = 1 لشراء قميص واحد. للشركة رقم 1:

  • السعر = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 دولارًا

للشركة رقم 2:

  • السعر = 7.5x + 9 = (1) (7.5) + 9 = 7.5 + 9 = 16.50 دولار

لذلك ، إذا كنت تشتري قميصًا واحدًا ، فإن الشركة الثانية تقدم صفقة أفضل.

للعثور على النقطة التي تكون فيها الأسعار متساوية ، دع "x" تبقى عدد القمصان ، لكن اضبط المعادلتين متساويتين. حل من أجل "x" للعثور على عدد القمصان التي يتعين عليك شراؤها:

  • 6x + 12 = 7.5x + 9
  • 6 × - 7.5 × = 9 - 12 (طرح نفس الأرقام أو التعبيرات من كل جانب)
  • -1.5x = -3
  • 1.5x = 3 (قسمة كلا الجانبين على نفس العدد ، -1)
  • س = 3 / 1.5 (قسمة كلا الجانبين على 1.5)
  • س = 2

إذا قمت بشراء قميصين ، فإن السعر هو نفسه ، بغض النظر عن المكان الذي تحصل عليه. يمكنك استخدام نفس الرياضيات لتحديد الشركة التي تمنحك معاملة أفضل للطلبات الكبيرة وأيضًا لحساب المبلغ الذي ستوفره باستخدام شركة واحدة على الآخر. انظر ، الجبر مفيد!

معادلات معادلة مع اثنين من المتغيرات

إذا كان لديك معادلتان ومجهولان (x و y) ، يمكنك تحديد ما إذا كانت مجموعتان من المعادلات الخطية متكافئين.

على سبيل المثال ، إذا أعطيت لك المعادلات:

  • -3x + 12y = 15
  • 7x - 10y = -2

يمكنك تحديد ما إذا كان النظام التالي مكافئًا:

  • -x + 4y = 5
  • 7x -10y = -2

إلى حل هذه المشكلة، ابحث عن "x" و "y" لكل نظام من المعادلات. إذا كانت القيم هي نفسها ، فإن أنظمة المعادلات تكون معادلة.

ابدأ بالمجموعة الأولى. لحل اثنين المعادلات مع اثنين المتغيرات، عزل متغير واحد وتوصيل حلها في المعادلة الأخرى. لعزل المتغير "y":

  • -3x + 12y = 15
  • -3x = 15 - 12y
  • x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (سد العجز في "x" في المعادلة الثانية)
  • 7x - 10y = -2
  • 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
  • -35 + 28y - 10y = -2
  • 18 سنة = 33
  • ذ = 33/18 = 11/6

الآن ، قم بتوصيل "y" مرة أخرى في أي من المعادلات لحل "x":

  • 7x - 10y = -2
  • 7x = -2 + 10 (11/6)

من خلال ذلك ، ستحصل في النهاية على x = 7/3.

للإجابة على السؤال ، أنت استطاع قم بتطبيق نفس المبادئ على المجموعة الثانية من المعادلات لحل "x" و "y" لتجد أنهما نعم ، وهما بالفعل متكافئان. من السهل التورط في الجبر ، لذلك من الجيد التحقق من عملك باستخدام حلالا على الانترنت المعادلات.

ومع ذلك ، سوف يلاحظ الطالب الذكي مجموعتي المعادلات متساوية دون القيام بأي حسابات صعبة على الإطلاق. الفرق الوحيد بين المعادلة الأولى في كل مجموعة هو أن المعادلة الأولى هي ثلاثة أضعاف المعادلة الثانية (مكافئة). المعادلة الثانية هي بالضبط نفس الشيء.