تحكي الدالات الأسية قصص التغيير المتفجر. نوعان من الدالات الأسية هي النمو الأسي و تسوس الأسي. تلعب أربعة متغيرات - النسبة المئوية للتغيير والوقت والمبلغ في بداية الفترة الزمنية والمبلغ في نهاية الفترة الزمنية - أدوارًا في الدالات الأسية. تركز هذه المقالة على كيفية العثور على المبلغ في بداية الفترة الزمنية ، أ.
النمو الأسي
النمو الأسي: التغيير الذي يحدث عندما يتم زيادة مبلغ أصلي بمعدل ثابت على مدى فترة من الزمن
النمو الأسي في الحياة الحقيقية:
- قيم أسعار المساكن
- قيم الاستثمارات
- زيادة العضوية في موقع التواصل الاجتماعي الشهير
إليك دالة نمو أسي:
ذ = أ(1 + ب)س
- ذ: المبلغ النهائي المتبقي على مدى فترة من الزمن
- أ: المبلغ الأصلي
- س: زمن
- ال عامل النمو هو (1 + ب).
- المتغير، ب، هو النسبة المئوية للتغير في الشكل العشري.
تسوس الأسي
الاضمحلال الأسي: التغيير الذي يحدث عندما يتم تقليل المبلغ الأصلي بمعدل ثابت على مدار فترة زمنية
الاضمحلال الأسي في الحياة الحقيقية:
- تراجع القراءات الصحفية
- تراجع السكتات الدماغية في الولايات المتحدة
- عدد الأشخاص المتبقين في مدينة منكوبة بالأعاصير
إليك دالة الاضمحلال الأسي:
ذ = أ(1-ب)س
- ذ: المبلغ النهائي المتبقي بعد الاضمحلال على مدى فترة زمنية
- أ: المبلغ الأصلي
- س: زمن
- ال عامل الاضمحلال هو (1-ب).
- المتغير، ب، هو انخفاض النسبة المئوية في الشكل العشري.
الغرض من إيجاد المبلغ الأصلي
ست سنوات من الآن ، ربما ترغب في الحصول على درجة جامعية في جامعة دريم. بسعر 120000 دولار ، تستحضر جامعة الأحلام رعب الليلة المالية. بعد ليالٍ بلا نوم ، تلتقي أنت وأمي وأبي بمخطط مالي. تتضح أعين والديك النقطتين عندما يكشف المخطط عن استثمار بمعدل نمو 8 ٪ يمكن أن يساعد عائلتك في الوصول إلى هدف 120،000 دولار. أدرس بجد. إذا استثمرت أنت ووالديك اليوم 75،620.36 دولارًا ، فستصبح جامعة دريم واقعك.
كيفية حل المبلغ الأصلي لدالة أسية
تصف هذه الوظيفة النمو الأسي للاستثمار:
120,000 = أ(1 +.08)6
- 120،000: المبلغ النهائي المتبقي بعد 6 سنوات
- .08: معدل النمو السنوي
- 6: عدد سنوات نمو الاستثمار
- أ: المبلغ الأولي الذي استثمرته عائلتك
ملحوظة: بفضل الملكية المتساوية للمساواة 120،000 = أ(1 +.08)6 بالضبط مثل أ(1 +.08)6 = 120,000. (الخاصية المتساوية للمساواة: إذا كانت 10 + 5 = 15 ، فإن 15 = 10 +5.)
إذا كنت تفضل إعادة كتابة المعادلة بالثابت ، 120،000 ، على يمين المعادلة ، فافعل ذلك.
أ(1 +.08)6 = 120,000
صحيح أن المعادلة لا تبدو كمعادلة خطية (6أ = $ 120،000) ، لكنها قابلة للحل. استمر في ذلك!
أ(1 +.08)6 = 120,000
كن حذرًا: لا تحل هذه المعادلة الأسية بقسمة 120،000 على 6. إنها حسابات مغرية لا لا.
1. استعمال ترتيب العمليات للتبسيط.
أ(1 +.08)6 = 120,000
أ(1.08)6 = 120،000 (قوس)
أ(1.586874323) = 120،000 (الأس)
2. حل بالقسمة
أ(1.586874323) = 120,000
أ(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1أ = 75,620.35523
أ = 75,620.35523
المبلغ الأصلي ، أو المبلغ الذي يجب أن تستثمره عائلتك ، هو حوالي 75،620.36 دولار أمريكي.
3. تجميد أنت لم تنته بعد. استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.
120,000 = أ(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (أقواس)
120،000 = 75،620.35523 (1.586874323) (الأس)
120،000 = 120،000 (الضرب)
تمارين الممارسة: الإجابات والتفسيرات
فيما يلي أمثلة لكيفية حل المبلغ الأصلي ، بالنظر إلى الدالة الأسية:
-
84 = أ(1+.31)7
استخدم ترتيب العمليات لتبسيط.
84 = أ(1.31)7 (أقواس)
84 = أ(6.620626219) (الأس)
قسّم للحل.
84/6.620626219 = أ(6.620626219)/6.620626219
12.68762157 = 1أ
12.68762157 = أ
استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.
84 = 12.68762157(1.31)7 (أقواس)
84 = 12.68762157 (6.620626219) (الأس)
84 = 84 (الضرب) -
أ(1 -.65)3 = 56
استخدم ترتيب العمليات لتبسيط.
أ(.35)3 = 56 (قوس)
أ(.0282875) = 56 (الأس)
قسّم للحل.
أ(.042875)/.042875 = 56/.042875
أ = 1,306.122449
استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.
أ(1 -.65)3 = 56
1,306.122449(.35)3 = 56 (قوس)
1،306.122449 (.0282875) = 56 (الأس)
56 = 56 (ضرب) -
أ(1 + .10)5 = 100,000
استخدم ترتيب العمليات لتبسيط.
أ(1.10)5 = 100،000 (قوس)
أ(1.61051) = 100،000 (الأس)
قسّم للحل.
أ(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
أ = 62,092.13231
استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.
62,092.13231(1 + .10)5 = 100,000
62,092.13231(1.10)5 = 100،000 (قوس)
62،092.13231 (1.61051) = 100،000 (الأس)
100،000 = 100،000 (ضرب) -
8,200 = أ(1.20)15
استخدم ترتيب العمليات لتبسيط.
8,200 = أ(1.20)15 (الأس)
8,200 = أ(15.40702157)
قسّم للحل.
8,200/15.40702157 = أ(15.40702157)/15.40702157
532.2248665 = 1أ
532.2248665 = أ
استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.
8,200 = 532.2248665(1.20)15
8،200 = 532.2248665 (15.40702157) (الأس)
8،200 = 8200 (حسنًا ، 8،199.9999... مجرد خطأ تقريبي.) (ضرب.) -
أ(1 -.33)2 = 1,000
استخدم ترتيب العمليات لتبسيط.
أ(.67)2 = 1،000 (قوس)
أ(.4489) = 1،000 (الأس)
قسّم للحل.
أ(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
1أ = 2,227.667632
أ = 2,227.667632
استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.
2,227.667632(1 -.33)2 = 1,000
2,227.667632(.67)2 = 1،000 (قوس)
2،227.667632 (.4489) = 1،000 (الأس)
1،000 = 1،000 (ضرب) -
أ(.25)4 = 750
استخدم ترتيب العمليات لتبسيط.
أ(00390625) = 750 (الأس)
قسّم للحل.
أ(.00390625)/00390625= 750/.00390625
1 أ = 192،000
أ = 192000
استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.
192,000(.25)4 = 750
192,000(.00390625) = 750
750 = 750