الاحتمال الشرطي: تدوين وأمثلة

مثال مباشر على الشرط احتمالا هو احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة من مجموعة بطاقات قياسية ملكًا. هناك ما مجموعه أربعة ملوك من أصل 52 بطاقة ، وبالتالي فإن الاحتمال هو ببساطة 4/52. يتعلق هذا الحساب بالسؤال التالي: "ما هو احتمال أن نرسم ملكًا نظرًا لذلك لقد رسمنا بالفعل بطاقة من سطح السفينة وهي آس؟ "هنا نعتبر محتويات سطح السفينة بطاقات. لا يزال هناك أربعة ملوك ، ولكن الآن لا يوجد سوى 51 بطاقة في المجموعة. احتمال رسم ملك بالنظر إلى أن الآس قد تم رسمه بالفعل هو 4/51.

احتمال مشروط يتم تعريفه على أنه احتمال وقوع حدث نظرًا لحدوث حدث آخر. إذا سمينا هذه الأحداث أ و ب، ثم يمكننا الحديث عن احتمالية أ معطى ب. يمكن أن نشير أيضا إلى احتمال أ معتمد على ب.

يختلف تدوين الاحتمال الشرطي من كتاب إلى آخر. في جميع الرموز ، يشير المؤشر إلى أن الاحتمال الذي نشير إليه يعتمد على حدث آخر. واحدة من أكثر الرموز تدل على احتمالية أ معطى ب يكون ف (أ | ب). تدوين آخر يستخدم هو ص_ب( أ ).

هناك صيغة للاحتمال الشرطي الذي يربط هذا باحتمال أ و ب:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

أساسا ما تقوله هذه الصيغة هو لحساب الاحتمال الشرطي للحدث

يمكننا ان نستخدم الجبر للتعبير عن الصيغة أعلاه بطريقة مختلفة:

P (أ ∩ ب) = ف (أ | ب) ف (ب)

سنعيد النظر في المثال الذي بدأناه في ضوء هذه المعلومات. نريد أن نعرف احتمال رسم ملك بالنظر إلى أن الآس قد تم رسمه بالفعل. وبالتالي فإن الحدث أ هو أننا نرسم ملكًا. حدث ب هو أننا نرسم الآس.

احتمالية حدوث كلا الحدثين ونرسم الآس ثم يتطابق الملك مع P (A ∩ B). قيمة هذا الاحتمال 12/2652. احتمالية وقوع حدث ب، أن نرسم الآس هو 4/52. وهكذا نستخدم معادلة الاحتمال الشرطي ونرى أن احتمال رسم ملك تم إعطاؤه من الآس هو (16/2652) / (4/52) = 4/51.

كمثال آخر ، سنلقي نظرة على تجربة الاحتمالات حيث نحن لفة اثنين من الزهر. السؤال الذي يمكن أن نطرحه هو ، "ما هو احتمال أننا قمنا بتدوير ثلاثة ، بالنظر إلى أننا قمنا بتدوير مبلغ أقل من ستة؟"

هنا الحدث أ هو أننا قمنا بتدوير ثلاثة ، والحدث ب هو أننا قمنا بتدوير مبلغ أقل من ستة. هناك ما مجموعه 36 طريقة لدحرجة النرد. من بين هذه الطرق الـ 36 ، يمكننا جمع مبلغ أقل من ستة في عشر طرق:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

هناك بعض الحالات التي يكون فيها الاحتمال الشرطي أ نظرا لهذا الحدث ب يساوي احتمال أ. في هذه الحالة نقول إن الأحداث أ و ب مستقلة عن بعضها البعض. تصبح الصيغة أعلاه:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B) ،

ونستعيد الصيغة التي مفادها أنه بالنسبة للأحداث المستقلة احتمال كلاهما أ و ب تم العثور عليه عن طريق ضرب احتمالات كل من هذه الأحداث:

P (أ ∩ ب) = ف (ب) ف (أ)

عندما يكون حدثان مستقلان ، هذا يعني أن حدثًا واحدًا ليس له تأثير على الآخر. التقليب بعملة واحدة ثم أخرى مثال على الأحداث المستقلة. قلب عملة واحدة ليس له تأثير على الآخر.

كن حذرا جدا لتحديد أي حدث يعتمد على الآخر. بشكل عام ف (أ | ب) لا يساوي ف (ب | أ). هذا هو احتمال أ نظرا لهذا الحدث ب ليس هو نفسه احتمال ب نظرا لهذا الحدث أ.

في مثال أعلاه ، رأينا أنه في دحرجة نردان ، فإن احتمال دحرجة ثلاثة ، بالنظر إلى أننا قمنا بتدوير مبلغ أقل من ستة كان 4/10. من ناحية أخرى ، ما هو احتمال طرح مبلغ أقل من ستة بالنظر إلى أننا قمنا بتدوير ثلاثة؟ احتمال دحرجة ثلاثة ومبلغ أقل من ستة هو 4/36. احتمال دحرجة واحد على الأقل ثلاثة هو 11/36. لذا فإن الاحتمال الشرطي في هذه الحالة هو (4/36) / (11/36) = 4/11.