احتمالية دحر يهتز

Yahtzee هي لعبة النرد التي تنطوي على مزيج من الفرصة والاستراتيجية. يبدأ اللاعب دوره بتدوير النرد الخمسة. بعد هذه القائمة ، قد يقرر اللاعب إعادة أي عدد من الزهر. على الأكثر ، هناك ما مجموعه ثلاث لفات لكل منعطف. بعد هذه القوائم الثلاثة ، يتم إدخال نتيجة الزهر على ورقة النتائج. تحتوي ورقة النتائج هذه على فئات مختلفة ، مثل منزل كامل أو كبير مستقيم. كل فئة من الفئات راضية عن مجموعات مختلفة من الزهر.

أصعب فئة لملء الفراغ هي فئة يهتز. يحدث Yahtzee عندما يتداول اللاعب خمسة من نفس العدد. كم من غير المرجح أن يهتز؟ هذه مشكلة أكثر تعقيدًا بكثير من إيجاد احتمالات اثنان او حتى ثلاثة النرد. السبب الرئيسي هو أن هناك العديد من الطرق للحصول على خمسة نرد مطابقة خلال ثلاث لفات.

يمكننا حساب احتمالية دحر Yahtzee باستخدام صيغة التوافقية للتركيبات ، وبتقسيم المشكلة إلى عدة لا يعتمدوا على بعض الحالات.

أسهل الحالات التي يجب مراعاتها هي الحصول على Yahtzee فورًا في أول لفة. سوف ننظر أولا في احتمالا المتداول يهتز معينة من خمسة توائم ، ومن ثم تمديد هذا بسهولة لاحتمال أي يهتز.

احتمالية تدحرج اثنين هي 1/6 ، وتكون نتيجة كل وفاة مستقلة عن الباقي. وبالتالي فإن احتمالية المتداول بخمسة توائم هي (1/6) × (1/6) × (1/6) × (1/6) × (1/6) = 1/7776. احتمالية المتداول خمسة من أي نوع آخر هو أيضا 1/7776. نظرًا لوجود ستة أرقام مختلفة في حالة وفاة ، فإننا نقوم بضرب الاحتمال أعلاه في 6.

هذا يعني أن احتمال وجود يهتز في الرول الأول هو 6 × 1/7776 = 1/1296 = 0.08 بالمائة.

إذا قمنا بلف أي شيء بخلاف خمسة من النوع الأول ، فسيتعين علينا إعادة لف بعض الزهر لدينا لمحاولة الحصول على يهتز. لنفترض أن رولنا الأول لديه أربعة من نفس النوع. سنقوم بإعادة لفافة القالب الذي لا يتطابق مع الأمر ثم الحصول على Yahtzee في هذه المجموعة الثانية.

تم العثور على احتمال المتداول ما مجموعه خمسة توائم بهذه الطريقة على النحو التالي:

1. في القائمة الأولى ، لدينا أربعة توائم. نظرًا لوجود احتمال 1/6 بتدوير اثنين ، و 5/6 لعدم تحريك اثنين ، فإننا نضرب (1/6) × (1/6) × (1/6) × (1/6) × ( 5/6) = 5/7776.
2. أي من الخمسة توالت النرد يمكن أن يكون غير الاثنين. نحن نستخدم صيغة الجمع الخاصة بنا لـ C (5 ، 1) = 5 لحساب عدد الطرق التي يمكننا من خلالها تدوير أربعة توائم وشيء ليس اثنين.
3. نحن نضرب ونرى أن احتمالية المتداول بالتحديد لأربعة توائم في الرول الأول هي 25/7776.
4. في اللفة الثانية ، نحتاج إلى حساب احتمالية الدوران الواحد. هذا 1/6. وبالتالي ، فإن احتمال تدحرج يتيز من التوأم بالطريقة أعلاه هو (25/7776) × (1/6) = 25/46656.

للعثور على احتمالية دحر أي Yahtzee بهذه الطريقة ، يتم ضرب بضرب الاحتمال أعلاه بمقدار 6 لأن هناك ستة أرقام مختلفة في حالة وفاة. وهذا يعطي احتمالية 6 × 25/46656 = 0.32 في المائة.

ولكن ليست هذه هي الطريقة الوحيدة لفافة يهتز بلفتين. جميع الاحتمالات التالية موجودة بنفس الطريقة المذكورة أعلاه:

• يمكننا لفة ثلاثة من نفس النوع ، ثم اثنين من الزهر التي تتطابق في لفة لدينا الثانية. احتمال ذلك هو 6 × C (5 ، 3) × (25/7776) × (1/36) = 0.54 في المئة.
• يمكننا لفة زوج مطابقة ، وعلى لفة الثانية لدينا ثلاثة النرد تلك المباراة. احتمال ذلك هو 6 × C (5 ، 2) × (100/7776) × (1/216) = 0.36 في المئة.
• يمكننا أن نلف خمسة نردات مختلفة ، نوفر واحدة تموت من لفاتنا الأولى ، ثم نلف أربعة نردات تتطابق مع لفة الثانية. احتمال ذلك هو (6! / 7776) x (1/1296) = 0.01 بالمائة.

الحالات المذكورة أعلاه متبادلة. هذا يعني أنه لحساب احتمالية لف يهتسي في لفتين ، نضيف الاحتمالات المذكورة أعلاه معًا ولدينا ما يقرب من 1.23 في المائة.

بالنسبة إلى الوضع الأكثر تعقيدًا حتى الآن ، سنبحث الآن في الحالة التي نستخدم فيها القوائم الثلاثة للحصول على يهتز. يمكننا القيام بذلك بعدة طرق ويجب أن نحسب لهم جميعًا.

يتم حساب احتمالات هذه الاحتمالات أدناه:

• احتمال دحرجة أربعة من نوع ما ، ثم لا شيء ، ثم مطابقة القالب الأخير في اللفة الأخيرة هو 6 × ج (5 ، 4) × (5/7776) × (5/6) × (1/6) = 0.27 نسبه مئويه.
• احتمالية تدحرج ثلاثة من نفس النوع ، ثم لا شيء ، ثم التطابق مع الزوج الصحيح في آخر لفة هو 6 × ج (5 ، 3) × (25/7776) × (25/36) × (1/36) = 0.37 في المئة.
• احتمالية تدحرج الزوج المطابق ، ثم لا شيء ، ثم التطابق مع الأنواع الثلاثة الصحيحة من الرول الثالث هي 6 × C (5 ، 2) × (100/7776) × (125/216) × (1/216) ) = 0.21 في المئة.
• احتمالية لف قالب واحد ، ثم لا شيء يطابق ذلك ، ثم المطابقة مع الأربعة الصحيحة من نوع ما في اللفة الثالثة هو (6! / 7776) × (625/1296) × (1/1296) = 0.003 في المائة.
• احتمال دحرجة ثلاثة من نفس النوع ، مطابقة قالب إضافي في اللفة التالية ، يليه مطابقة القالب الخامس في الرول الثالث هو 6 × ج (5 ، 3) × (25/7776) × ج (2 ، 1) × (5/36) × (1/6) = 0.89 نسبه مئويه.
• احتمالية تدحرج الزوج ، مطابقة الزوج الإضافي في القائمة التالية ، تليها المطابقة يموت الخامس على لفة الثالث هو 6 × C (5 ، 2) × (100/7776) × C (3 ، 2) × (5/216) × (1/6) = 0.89 نسبه مئويه.
• احتمالية تدوير زوج ، مطابقة قالب إضافي في اللفة التالية ، يليه مطابقة النردان الأخيران في اللفة الثالثة هما 6 × سي (5 ، 2) × (100/7776) × سي (3 ، 1) × (25/216) × (1/36) = 0.74 في المائة.
• احتمالية التدحرج من نوع واحد ، ويموت الآخر لمطابقته في اللفة الثانية ، ثم ثلاثة من النوع في اللفة الثالثة هي (6! / 7776) × C (4 ، 1) × (100/1296) س (1/216) = 0.01 في المئة.
• احتمالية التدحرج من نوع واحد ، وثلاثة أنواع من النوع المطلوب مطابقتها في الرول الثاني ، تليها مباراة في الرول الثالث هي (6! / 7776) × C (4 ، 3) × (5/1296) x (1/6) = 0.02 بالمائة.
• احتمالية التدحرج من نوع واحد ، الزوج لمطابقته في اللفة الثانية ، ثم زوج آخر للمطابقة في اللفة الثالثة هو (6! / 7776) × C (4 ، 2) × (25/1296) x (1/36) = 0.03 بالمائة.

نضيف جميع الاحتمالات المذكورة أعلاه معًا لتحديد احتمالية تدحرج يهتز في ثلاث لفات من الزهر. هذا الاحتمال هو 3.43 في المئة.

إحتمال أن يكون Yahtzee في لفة واحدة 0.08 بالمائة ، و احتمال Yahtzee في لفتين هو 1.23 بالمائة و احتمال Yahtzee في ثلاث لفات هو 3.43 بالمائة. نظرًا لأن كلٍّ من هذه العناصر يستبعد بعضها بعضًا ، نضيف الاحتمالات معًا. هذا يعني أن احتمال الحصول على يهتز في منعطف ما يقرب من 4.74 في المئة. لوضع هذا في منظوره الصحيح ، حيث أن 1/21 يبلغ 4.74 في المائة تقريبًا ، يجب على اللاعب بمصادفة توقع ياهتسي مرة واحدة كل 21 دورة. في الممارسة العملية ، قد يستغرق الأمر وقتًا أطول ، حيث قد يتم تجاهل الزوج الأولي ليتدحرج لشيء آخر ، مثل مستقيم.