القيمة المتوقعة للتوزيع ذي الحدين

التوزيعات ذات الحدين هي فئة مهمة من منفصلة التوزيعات الاحتمالية. هذه الأنواع من التوزيعات هي سلسلة من ن تجارب برنولي المستقلة ، لكل منها احتمالية ثابتة ص من النجاح. كما هو الحال مع أي توزيع احتمالي ، نود أن نعرف معناه أو مركزه. لهذا نسأل حقا ، "ما هو القيمة المتوقعة للتوزيع ذي الحدين؟ "

إذا فكرنا بعناية في أ توزيع ثنائي، ليس من الصعب تحديد ما هو متوقع قيمة هذا النوع من التوزيع الاحتمالي يكون np. للحصول على أمثلة سريعة قليلة ، خذ بعين الاعتبار ما يلي:

• إذا رمينا 100 قطعة نقدية و X هو عدد الرؤوس ، القيمة المتوقعة لـ X تساوي 50 = (1/2) 100.
• إذا قمنا باختبار متعدد الخيارات مع 20 سؤالًا ولكل سؤال أربعة خيارات (واحد فقط من وهذا صحيح) ، ثم التخمين بشكل عشوائي يعني أننا نتوقع فقط الحصول على (1/4) 20 = 5 أسئلة صيح.

في كل من هذه الأمثلة نرى ذلك E [X] = n ص. حالتان بالكاد تكفي للوصول إلى نتيجة. على الرغم من أن الحدس هو أداة جيدة لإرشادنا ، إلا أنه لا يكفي لتشكيل حجة رياضية وإثبات صحة شيء ما. كيف نثبت بشكل قاطع أن القيمة المتوقعة لهذا التوزيع هي بالفعل np?

من تعريف القيمة المتوقعة ودالة الكتلة الاحتمالية لل

نبدأ باستخدام الصيغة:

E [X] = Σ _{س = 0}^ن س ج (ن ، س) ص^س(1-ص)^{ن - س}.

حيث يتم ضرب كل مصطلح من الجمع في سقيمة المصطلح المقابل س = 0 سيكون 0 ، وبالتالي يمكننا كتابة:

E [X] = Σ _{س = 1}^ن س ج (ن ، س) ص ^س (1 - ع) ^{ن - س} .

عن طريق التلاعب بالعوامل التي تدخل في التعبير عن ج (ن ، س) يمكننا إعادة الكتابة

س ج (ن ، س) = ن ج (ن - 1 ، س - 1).

هذا صحيح لأنه:

x C (n، x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1، x - 1).

إنه يتبع هذا:

E [X] = Σ _{س = 1}^ن ن ج (ن - 1 ، س - 1) ص ^س (1 - ع) ^{ن - س} .

نحن عاملنا ن و واحد ص من التعبير أعلاه:

E [X] = np Σ _{س = 1}^ن ج (ن - 1 ، س - 1) ص ^{س - 1} (1 - ع) ^{(ن - 1) - (س - 1)} .

تغيير المتغيرات ص = س - 1 يعطينا:

E [X] = np Σ _{ص = 0}^{ن - 1} ج (ن - 1 ، ص) ص ^ص (1 - ع) ^{(ن - 1) - ص} .

بواسطة الصيغة ذات الحدين ، (س + ص)^ك = Σ _{ص = 0} ^كج (ك ، ص) س^ص ذ^{ك - ص} يمكن إعادة كتابة الملخص أعلاه:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{ن - 1} = ن.

لقد أخذتنا الحجة أعلاه شوطا طويلا. من البداية فقط بتعريف القيمة المتوقعة ووظيفة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ذي الحدين ، أثبتنا أن ما حدسنا أخبرنا به. القيمة المتوقعة لل توزيع ثنائيب (ن ، ع) يكون ن ص.