قاعدة الضرب للأحداث المستقلة

من المهم معرفة كيفية حساب احتمالية وقوع حدث. تسمى أنواع معينة من الأحداث في الاحتمال مستقلة. عندما يكون لدينا زوج من الأحداث المستقلة ، قد نسأل في بعض الأحيان ، "ما هو احتمال حدوث هذين الحدثين؟" في هذه الحالة ، يمكننا ببساطة مضاعفة احتمالينا معًا.

سنرى كيفية الاستفادة من قاعدة الضرب للأحداث المستقلة. بعد استعراض الأساسيات ، سنرى تفاصيل بضعة حسابات.

نبدأ بتعريف الأحداث المستقلة. في احتمالا، هناك حدثان مستقلان إذا لم تؤثر نتيجة حدث واحد على نتيجة الحدث الثاني.

مثال جيد على زوج من الأحداث المستقلة هو عندما ندير قالبًا ثم نقلب عملة معدنية. الرقم الذي يظهر على القالب ليس له تأثير على العملة التي تم رميها. لذلك فإن هذين الحدثين مستقلان.

مثال على زوج من الأحداث غير المستقلة سيكون جنس كل طفل في مجموعة من التوائم. إذا كان التوأمان متطابقين ، فسيكون كلاهما من الذكور ، أو كلاهما من الإناث.

تربط قاعدة الضرب للأحداث المستقلة احتمالية وقوع حدثين باحتمال حدوثهما. من أجل استخدام القاعدة ، نحن بحاجة إلى احتمالات كل من الأحداث المستقلة. بالنظر إلى هذه الأحداث ، تنص قاعدة الضرب على احتمال العثور على كلا الحدثين عن طريق ضرب احتمالات كل حدث.

دلالة على الأحداث أ و ب واحتمالات كل من قبل ف (أ) و ف (ب). إذا أ و ب هي أحداث مستقلة ، ثم:

تستخدم بعض إصدارات هذه الصيغة المزيد من الرموز. بدلاً من كلمة "و" يمكننا بدلاً من ذلك استخدام رمز التقاطع: ∩. في بعض الأحيان يتم استخدام هذه الصيغة كتعريف للأحداث المستقلة. الأحداث مستقلة إذا وفقط إذا ص (أ و ب) = ف (أ) س ف (ب).

سنرى كيفية استخدام قاعدة الضرب من خلال النظر في بعض الأمثلة. لنفترض أولاً أننا نسحب قالبًا سداسي الجوانب ثم نقلب عملة معدنية. هذان الحدثان مستقلان. احتمال دحرجة 1 هو 1/6. احتمال الرأس هو 1/2. احتمال دحرجة 1 و الحصول على رأس 1/6 × 1/2 = 1/12.

إذا كنا نميل إلى الشك في هذه النتيجة ، فإن هذا المثال صغير بما فيه الكفاية بحيث تكون جميع النتائج يمكن إدراجها: {(1، H)، (2، H)، (3، H)، (4، H)، (5، H)، (6، H)، (1، T)، (2، T) ، (3 ، T) ، (4 ، T) ، (5 ، T) ، (6 ، T)}. نرى أن هناك اثني عشر نتيجة ، من المرجح أن تحدث جميعها. وبالتالي فإن احتمال 1 ورأس 1/12. كانت قاعدة الضرب أكثر كفاءة لأنها لم تتطلب منا سرد مساحة العينة بأكملها.

للمثال الثاني ، افترض أننا نرسم بطاقة من سطح السفينة القياسي، استبدل هذه البطاقة ، قم بخلط مجموعة ورق اللعب ثم ارسم مرة أخرى. ثم نسأل ما هو احتمال أن تكون كلتا البطاقتين ملوك. منذ أن رسمنا مع الاستبدال، هذه الأحداث مستقلة ويتم تطبيق قاعدة الضرب.

احتمال رسم ملك للبطاقة الأولى هو 1/13. احتمال رسم ملك في السحب الثاني هو 1/13. والسبب في ذلك هو أننا نستبدل الملك الذي رسمناه من المرة الأولى. نظرًا لأن هذه الأحداث مستقلة ، فإننا نستخدم قاعدة الضرب لنرى أن احتمال رسم ملكين معطى بالمنتج التالي 1/13 × 1/13 = 1/169.

إذا لم نستبدل الملك ، فعندئذ سيكون لدينا وضع مختلف لن تكون فيه الأحداث مستقلة. سوف يتأثر احتمال رسم ملك على البطاقة الثانية بنتيجة البطاقة الأولى.