كيف تختلف التركيبات والتباديل

من خلال الرياضيات والإحصاء ، نحتاج إلى معرفة كيفية الحساب. هذا صحيح بشكل خاص بالنسبة للبعض احتمالا مشاكل. لنفترض أننا حصلنا على إجمالي ن كائنات مميزة وتريد تحديدها ص منهم. هذا يتطرق مباشرة إلى منطقة الرياضيات المعروفة باسم التوافقية ، وهي دراسة العد. طريقتان رئيسيتان لحساب هذه ص كائنات من ن تسمى العناصر التباديل والتركيبات. ترتبط هذه المفاهيم ارتباطًا وثيقًا ببعضها البعض ويمكن الخلط بينها بسهولة.

ما الفرق بين التوليفة والتبديل؟ الفكرة الرئيسية هي النظام. التباديل ينتبه إلى الترتيب الذي نختار به كائناتنا. نفس المجموعة من الأشياء ، ولكن مأخوذة بترتيب مختلف ستعطينا تبديلًا مختلفًا. مع تركيبة ، ما زلنا نختار ص كائنات من إجمالي ن، ولكن لم يعد الترتيب يعتبر.

للتمييز بين هذه الأفكار ، سننظر في المثال التالي: كم عدد التباديل هناك حرفين من المجموعة {أ ، ب ، ج}?

نقوم هنا بإدراج جميع أزواج العناصر من المجموعة المحددة ، مع الانتباه إلى الترتيب. هناك ما مجموعه ستة تبادلات. قائمة كل هذه هي: ab و ba و bc و cb و ac و ca. لاحظ أنه كتبديل أ و با تختلف لأنه في حالة واحدة أ تم اختياره أولاً ، وفي الآخر أ اختير في المرتبة الثانية.

الآن سنجيب على السؤال التالي: كم عدد التركيبات لحرفين من المجموعة {أ ، ب ، ج}?

نظرًا لأننا نتعامل مع مجموعات ، لم نعد نهتم بهذا الأمر. يمكننا حل هذه المشكلة من خلال النظر إلى التباديل ثم إزالة تلك التي تحتوي على نفس الحروف. كمجموعات ، أ و با تعتبر هي نفسها. وبالتالي هناك ثلاث مجموعات فقط: ab و ac و bc.

بالنسبة للحالات التي نواجهها مع مجموعات أكبر ، يستغرق الأمر وقتًا طويلاً جدًا لسرد جميع التباديل أو التوليفات المحتملة واحتساب النتيجة النهائية. لحسن الحظ ، هناك الصيغ التي تعطينا عدد التباديل أو تركيبات ن الأشياء المأخوذة ص في الوقت.

في هذه الصيغ ، نستخدم تدوين الاختزال ن! اتصل نعاملي. يقول العامل المضروب ببساطة أن ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة أقل من أو يساوي ن سويا. لذا ، على سبيل المثال ، 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. حسب التعريف 0! = 1.

عدد التباديل ن الأشياء المأخوذة ص في وقت ما بالصيغة:

ص(ن,ص) = ن!/(ن - ص)!

عدد مجموعات ن الأشياء المأخوذة ص في وقت ما بالصيغة:

ج(ن,ص) = ن!/[ص!(ن - ص)!]

لرؤية الصيغ في العمل ، دعنا نلقي نظرة على المثال الأولي. يتم إعطاء عدد التباديل لمجموعة من ثلاثة كائنات تم أخذها اثنين في كل مرة بواسطة ص(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. يطابق هذا بالضبط ما حصلنا عليه من خلال سرد جميع التباديل.

يتم إعطاء عدد مجموعات مجموعة من ثلاثة كائنات تم أخذها اثنين في وقت واحد بواسطة:

ج(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. مرة أخرى ، يتماشى هذا تمامًا مع ما رأيناه من قبل.

توفر الصيغ الوقت بالتأكيد عندما يُطلب منا العثور على عدد التباديل لمجموعة أكبر. على سبيل المثال ، كم عدد التباديل هناك مجموعة من عشرة أشياء مأخوذة ثلاثة في وقت واحد؟ سيستغرق الأمر بعض الوقت لإدراج جميع التباديل ، ولكن باستخدام الصيغ ، نرى أنه سيكون هناك:

ص(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 × 9 × 8 = 720 تبديل.

ما الفرق بين التباديل والتوافيق؟ خلاصة القول هي أنه في حساب الحالات التي تنطوي على أمر ، يجب استخدام التباديل. إذا لم يكن الطلب مهمًا ، فيجب استخدام المجموعات.