تعريف واستخدام الاتحاد في الرياضيات

إحدى العمليات التي يتم استخدامها بشكل متكرر لتشكيل مجموعات جديدة من المجموعات القديمة تسمى النقابة. في الاستخدام الشائع ، تدل كلمة الاتحاد على التقارب ، مثل النقابات في العمل المنظم أو النقابات حالة الاتحاد معالجة أن الولايات المتحدة رئيس يجعل قبل جلسة مشتركة للكونجرس. بالمعنى الرياضي ، يحتفظ اتحاد مجموعتين بفكرة الجمع. بتعبير أدق ، اتحاد مجموعتين أ و ب هي مجموعة جميع العناصر س مثل ذلك س هو عنصر في المجموعة أ أو س هو عنصر في المجموعة ب. الكلمة التي تشير إلى أننا نستخدم الاتحاد هي كلمة "أو".

عندما نستخدم كلمة "أو" في المحادثات اليومية ، فقد لا ندرك أن هذه الكلمة يتم استخدامها بطريقتين مختلفتين. عادة ما يتم استنتاج الطريقة من سياق المحادثة. إذا تم سؤالك "هل تريد الدجاج أم شريحة اللحم؟" المعنى المعتاد هو أنه قد يكون لديك واحد أو آخر ، ولكن ليس كلاهما. قارن هذا مع السؤال "هل تريد زبدة أو كريمة حامضة على البطاطا المخبوزة؟" هنا "أو" هو تستخدم بالمعنى الشامل حيث أنه يمكنك اختيار الزبدة فقط أو القشدة الحامضة فقط أو كل من الزبدة والحامض كريم.

في الرياضيات ، يتم استخدام كلمة "أو" بالمعنى الشامل. لذلك البيان ، "س هو عنصر من عناصر أ أو عنصر ب"يعني أن أحد الثلاثة ممكن:

• س هو عنصر عادل أ وليس عنصر ب
• س هو عنصر عادل ب وليس عنصر أ.
• س هو عنصر من كليهما أ و ب. (يمكننا أن نقول ذلك أيضًا س هو عنصر تقاطع أ و ب

للحصول على مثال لكيفية تشكيل اتحاد مجموعتين لمجموعة جديدة ، دعنا نفكر في المجموعات أ = {1 و 2 و 3 و 4 و 5} و ب = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. للعثور على اتحاد هاتين المجموعتين ، نقوم ببساطة بإدراج كل عنصر نراه ، مع الحرص على عدم تكرار أي عناصر. الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 إما في مجموعة واحدة أو أخرى ، وبالتالي فإن اتحاد أ و ب هي {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8}.

بالإضافة إلى فهم المفاهيم المتعلقة بعمليات نظرية المجموعة ، من المهم أن تكون قادرًا على قراءة الرموز المستخدمة للدلالة على هذه العمليات. الرمز المستخدم لاتحاد المجموعتين أ و ب اعطي من قبل أ ∪ ب. إحدى الطرق لتذكر الرمز ∪ يشير إلى الاتحاد هو ملاحظة تشابهه مع العاصمة U ، وهو اختصار لكلمة "اتحاد". كن حذرا ، لأن رمز الاتحاد مشابه جدا لرمز الاتحاد تداخل. يتم الحصول على واحد من الآخر عن طريق قلب عمودي.

لرؤية هذا التدوين عمليًا ، ارجع إلى المثال أعلاه. هنا كان لدينا المجموعات أ = {1 و 2 و 3 و 4 و 5} و ب = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. لذا نكتب المعادلة المحددة أ ∪ ب = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

تُظهر لنا إحدى الهوية الأساسية التي تنطوي على الاتحاد ما يحدث عندما نأخذ اتحاد أي مجموعة مع المجموعة الفارغة ، المشار إليها برقم # 8709. المجموعة الفارغة هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. لذا فإن الانضمام إلى أي مجموعة أخرى لن يكون له أي تأثير. بمعنى آخر ، سيعطينا اتحاد أي مجموعة مع المجموعة الفارغة المجموعة الأصلية

تصبح هذه الهوية أكثر إحكاما مع استخدام تدويننا. لدينا الهوية: أ ∪ ∅ = أ.

من ناحية أخرى ، ما يحدث عندما نفحص اتحاد مجموعة مع المجموعة العالمية؟ نظرًا لأن المجموعة العالمية تحتوي على كل عنصر ، لا يمكننا إضافة أي شيء آخر إلى ذلك. لذا فإن الاتحاد أو أي مجموعة مع المجموعة العالمية هي المجموعة العالمية.

مرة أخرى يساعدنا تدويننا على التعبير عن هذه الهوية بتنسيق أكثر إحكاما. لأي مجموعة أ والمجموعة العالمية ش, أ ∪ ش = ش.

هناك العديد من الهويات المحددة التي تنطوي على استخدام عملية النقابات. بالطبع ، من الجيد دائمًا ممارسة باستخدام لغة نظرية المجموعات. ويرد عدد قليل من أهم أدناه. لجميع المجموعات أو ب و د نملك:

• الملكية الانعكاسية: أ ∪ أ =أ
• خاصية التبديل: أ ∪ ب = ب ∪ أ
• ملكية مشتركة: (أ ∪ ب) ∪ د =أ ∪ (ب ∪ د)
• قانون DeMorgan الأول: (أ ∩ ب)^ج = أ^ج ∪ ب^ج
• قانون DeMorgan الثاني: (أ ∪ ب)^ج = أ^ج ∩ ب^ج