احتمالية المتداول في بيت كامل في يهتز؟

تتضمن لعبة Yahtzee استخدام خمسة من الزهر القياسي. في كل منعطف ، يتم منح اللاعبين ثلاث لفات. بعد كل لفة ، يمكن الاحتفاظ بأي عدد من الزهر بهدف الحصول على مجموعات معينة من هذه الزهر. كل نوع مختلف من مزيج يستحق كمية مختلفة من النقاط.

واحد من هذه الأنواع من مجموعات تسمى منزل كامل. مثل المنزل الكامل في لعبة البوكر ، تشتمل هذه المجموعة على ثلاثة من عدد معين مع زوج من رقم مختلف. نظرًا لأن Yahtzee يتضمن التدرج العشوائي للنرد ، فيمكن تحليل هذه اللعبة باستخدام الاحتمال لتحديد مدى احتمال تدحرج منزل كامل في لفة واحدة.

سنبدأ بالقول افتراضاتنا. نحن نفترض أن النرد المستخدمة عادلة ومستقلة عن بعضها البعض. وهذا يعني أن لدينا مساحة عينة موحدة تتكون من جميع القوائم الممكنة من الزهر الخمسة. على الرغم من أن لعبة Yahtzee تسمح بثلاث قوائم ، إلا أننا سننظر فقط في حالة حصولنا على منزل كامل في لفة واحدة.

لأننا نعمل مع زى موحدفضاء العينة، يصبح حساب احتمالنا بمثابة حساب لعدد من مشاكل العد. احتمال وجود منزل كامل هو عدد طرق لفافة منزل كامل ، مقسومًا على عدد النتائج في مساحة العينة.

عدد النتائج في مساحة العينة واضح ومباشر. نظرًا لوجود خمسة من الزهر ويمكن لكل من هذه الزهر الحصول على واحد من ستة نتائج مختلفة ، فإن عدد النتائج في مساحة العينة هو 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 6

بعد ذلك ، نحسب عدد الطرق لتدوير منزل كامل. هذه مشكلة أكثر صعوبة. من أجل الحصول على منزل كامل ، نحتاج إلى ثلاثة أنواع من الزهر ، يليها زوج من أنواع مختلفة من الزهر. سنقسم هذه المشكلة إلى قسمين:

• ما هو عدد أنواع المنازل الكاملة التي يمكن دحرجتها؟
• ما هو عدد الطرق التي يمكن بها لف نوع معين من المنازل الكاملة؟

بمجرد معرفة الرقم لكل منها ، يمكننا مضاعفتها معًا لتعطينا العدد الإجمالي للمنازل الكاملة التي يمكن دحرجتها.

نبدأ بالنظر في عدد الأنواع المختلفة من المنازل الكاملة التي يمكن دحرجتها. يمكن استخدام أي من الأرقام 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6 للأرقام الثلاثة. هناك خمسة أرقام متبقية للزوج. وبالتالي هناك 6 × 5 = 30 نوعًا مختلفًا من تركيبات المنزل الكامل التي يمكن لفها.

على سبيل المثال ، يمكن أن يكون لدينا 5 ، 5 ، 5 ، 2 ، 2 كنوع واحد من المنزل الكامل. وهناك نوع آخر من المنزل الكامل هو 4 ، 4 ، 4 ، 1 ، 1. آخر سيكون 1 ، 1 ، 4 ، 4 ، 4 ، والذي يختلف عن المنزل الكامل السابق لأنه تم تبديل أدوار الأربعة والأدوار.

الآن نحن نحدد عددًا مختلفًا من طرق لفافة منزل كامل معين. على سبيل المثال ، يعطينا كل مما يلي نفس المنزل المكون من ثلاث جولات واثنان:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

نرى أن هناك خمس طرق على الأقل لفافة منزل كامل معين. هل هناك آخرون؟ حتى لو واصلنا سرد الاحتمالات الأخرى ، كيف نعرف أننا وجدناها كلها؟

مفتاح الإجابة على هذه الأسئلة هو إدراك أننا نتعامل مع مشكلة العد وتحديد نوع مشكلة العد الذي نعمل عليه. هناك خمسة وظائف ، ويجب شغل ثلاثة من هذه الوظائف بأربعة. لا يهم الترتيب الذي نضع فيه أربع رحلاتنا طالما تم شغل المواضع الدقيقة. بمجرد تحديد موضع الأرباع ، يصبح موضعه تلقائيًا. لهذه الأسباب ، نحن بحاجة إلى النظر في مزيج من خمسة وظائف اتخذت ثلاثة في وقت واحد.

نحن نستخدم صيغة الجمع للحصول عليها ج(5 ، 3) = 5! / (3! 2!) = (5 × 4) / 2 = 10. وهذا يعني أن هناك 10 طرق مختلفة لفافة منزل كامل معين.

عند وضع كل هذا معًا ، لدينا عدد المنازل الكاملة. هناك 10 × 30 = 300 طرق للحصول على منزل كامل في لفة واحدة.

الآن ال احتمال وجود منزل كامل هو حساب تقسيم بسيط. نظرًا لوجود 300 طريقة لفافة المنزل بالكامل في لفة واحدة ، وهناك 7776 لفة من خمس نرد ممكن ، فإن احتمال تدوير المنزل بالكامل هو 300/7776 ، وهو قريب من 1/26 و 3.85٪. هذا هو 50 مرة أكثر احتمالا من لفة يهتز في لفة واحدة.

بالطبع ، من المحتمل جدًا أن تكون القائمة الأولى ليست منزلًا كاملاً. إذا كان هذا هو الحال ، فيُسمح لنا بفاتين أخريين ، مما يجعل المنزل الكامل أكثر احتمالًا. احتمال تحديد هذا الأمر أكثر تعقيدًا نظرًا لوجود جميع المواقف المحتملة التي يجب مراعاتها.