ما هي المقابلة ، موانع ، والعكس؟

البيانات الشرطية تجعل المظاهر في كل مكان. في الرياضيات أو في أي مكان آخر ، لا يستغرق الأمر وقتًا طويلاً لركض شيء من النموذج "إذا ص ثم س" البيانات الشرطية مهمة حقًا. ما هو مهم أيضًا هي العبارات المرتبطة بالبيان الشرطي الأصلي عن طريق تغيير موضع ص, س ونفي بيان. بدايةً من عبارة أصلية ، ينتهي بنا المطاف بثلاثة عبارات شرطية جديدة تُسمى العكس ، المانع ، و معكوس.

قبل أن نعرِّف العكس ، والمناقض ، والعكس لبيان شرطي ، نحتاج إلى فحص موضوع النفي. كل بيان في منطق هو إما صحيحة أو خاطئة. إن نفي أي بيان ينطوي ببساطة على إدراج كلمة "لا" في الجزء المناسب من البيان. تتم إضافة كلمة "لا" بحيث تتغير الحالة الحقيقة للبيان.

سوف يساعد على إلقاء نظرة على مثال. البيان " مثلث قائم هو متساوي الأضلاع "له نفي" المثلث الأيمن ليس متساوي الأضلاع. " نفي "10 هو رقم زوجي" هو عبارة "10 ليس رقم زوجي". بالطبع ، لهذا المثال الأخير ، يمكننا استخدام تعريف عدد فردي ونقول بدلاً من ذلك أن "10 هو رقم فردي". نلاحظ أن حقيقة بيان هو عكس ذلك من نفي.

سنبحث هذه الفكرة في بيئة أكثر تجريدية. عندما البيان ص صحيح ، العبارة "لا ص" هو زائف. وبالمثل ، إذا

الآن يمكننا تحديد العكس والعكس لبيان شرطي. نبدأ بالبيان الشرطي "إذا ص ثم س.”

• العكس من العبارة الشرطية هو "إذا س ثم ص.”
• موانع العبارة الشرطية هي "إذا لم يكن الأمر كذلك س ثم لا ص.”
• معكوس العبارة الشرطية هو "إذا لم يكن كذلك ص ثم لا س.”

سنرى كيف تعمل هذه العبارات مع مثال. لنفترض أننا نبدأ بالبيان الشرطي "إذا أمطرت الليلة الماضية ، فإن الرصيف مبلل".

• على العكس من العبارة الشرطية "إذا كان الرصيف مبللاً ، فأمطرت الليلة الماضية."
• موانع العبارة الشرطية هي "إذا لم يكن الرصيف مبللاً ، فلم تمطر الليلة الماضية."
• إن عكس البيان الشرطي هو "إذا لم تمطر الليلة الماضية ، فإن الرصيف ليس رطبًا."

قد نتساءل لماذا من المهم تشكيل هذه العبارات الشرطية الأخرى من بياننا الأولي. نظرة فاحصة على المثال أعلاه يكشف عن شيء ما. لنفترض أن العبارة الأصلية "إذا أمطرت الليلة الماضية ، فإن الرصيف مبلل". أي من العبارات الأخرى يجب أن تكون صحيحة أيضًا؟

• الحديث "إذا كان الرصيف مبللاً ، ثم أمطرت الليلة الماضية" فليس صحيحًا بالضرورة. يمكن أن يكون الرصيف مبتلًا لأسباب أخرى.
• إن معكوس "إذا لم تمطر الليلة الماضية ، فإن الرصيف ليس رطبًا" ليس صحيحًا بالضرورة. مرة أخرى ، لمجرد أنها لا تمطر لا يعني أن الرصيف ليس رطبًا.
• إن عبارة "إذا لم يكن الرصيف مبللاً ، فلم تمطر الليلة الماضية" هو بيان حقيقي.

ما نراه من هذا المثال (وما يمكن إثباته رياضيا) هو أن العبارة الشرطية لها نفس قيمة الحقيقة مثل كونها معادية. نقول أن هذين البيانين متكافئين منطقيا. نرى أيضًا أن العبارة الشرطية ليست مكافئًا منطقيًا للعكس والعكس.

نظرًا لأن البيان الشرطي وموانع الحمل لهما مكافئان منطقيان ، فيمكننا استخدام ذلك لصالحنا عندما نثبت نظريات رياضية. بدلاً من إثبات حقيقة البيان الشرطي مباشرةً ، يمكننا بدلاً من ذلك استخدام استراتيجية الإثبات غير المباشر لإثبات حقيقة مفعول ذلك البيان. تعمل بروفات منع الحمل لأنه إذا كانت وسائل منع الحمل صحيحة ، بسبب المعادلة المنطقية ، فإن العبارة الشرطية الأصلية صحيحة أيضًا.

اتضح أنه على الرغم من أن الحديث والعكس ليسا مكافئين منطقيا للبيان الشرطي الأصلي، فهي تعادل منطقيا لبعضها البعض. هناك تفسير سهل لهذا. نبدأ بالبيان الشرطي "إذا س ثم ص”. معاد هذا البيان هو "إذا لم يكن كذلك ص ثم لا س" بما أن معكوس هو العكس من العكس ، فإن العكس والعكس متساويان منطقيا.