ما هي قوانين دي مورغان؟

الإحصاء الرياضي يتطلب في بعض الأحيان استخدام نظرية المجموعات. قوانين دي مورغان عبارة عن بيانين يصفان التفاعلات بين عمليات نظرية المجموعات المختلفة. القوانين هي أن لأي مجموعتين أ و ب:

1. (أ ∩ ب)^ج = أ^ج يو ب^ج.
2. (أ يو ب)^ج = أ^ج ∩ ب^ج.

بعد توضيح معنى كل عبارة من هذه العبارات ، سننظر في مثال على كل عبارة من هذه العبارات قيد الاستخدام.

لفهم ما تقوله قوانين دي مورغان ، يجب أن نتذكر بعض التعاريف لعمليات نظرية المجموعات. على وجه التحديد ، يجب أن نعرف عن اتحاد و تداخل من مجموعتين وتكمل مجموعة.

تتعلق قوانين دي مورغان بتفاعل الاتحاد والتقاطع والمكمل. أذكر ما يلي:

• تقاطع المجموعات أ و ب يتكون من جميع العناصر المشتركة بين الاثنين أ و ب. يشار إلى تقاطع من قبل أ ∩ ب.
• اتحاد المجموعات أ و ب يتكون من جميع العناصر التي في أي منهما أ أو ب، بما في ذلك العناصر في كلا المجموعتين. يُشار إلى التقاطع بواسطة A U B.
• تكملة للمجموعة أ يتكون من جميع العناصر التي ليست عناصر أ. يشار إلى هذا تكملة من قبل أ^ج.

الآن وقد استذكرنا هذه العمليات الأولية ، سنرى بيان قوانين دي مورغان. لكل زوج من المجموعات أ و ب نملك:

1. (أ ∩ ب)^ج = أ^ج يو ب^ج
2. (أ يو ب)^ج = أ^ج ∩ ب^ج

يمكن توضيح هذين البيانين باستخدام مخططات Venn. كما هو موضح أدناه ، يمكننا التوضيح باستخدام مثال. من أجل إثبات أن هذه العبارات صحيحة ، يجب علينا تثبت لهم باستخدام تعريفات عمليات نظرية المجموعة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مجموعة أرقام حقيقية من 0 إلى 5 نكتب هذا في تدوين الفاصل الزمني [0 ، 5]. ضمن هذه المجموعة لدينا أ = [1 ، 3] و ب = [2, 4]. علاوة على ذلك ، بعد تطبيق عملياتنا الأولية لدينا:

• المكمل أ^ج = [0 ، 1) U (3 ، 5]
• المكمل ب^ج = [0 ، 2) U (4 ، 5]
• الاتحاد أ يو ب = [1, 4]
• التقاطع أ ∩ ب = [2, 3]

نبدأ بحساب الاتحاد أ^ج يو ب^ج. نرى أن اتحاد [0 ، 1) U (3 ، 5] مع [0 ، 2) U (4 ، 5] هو [0 ، 2) U (3 ، 5]. التقاطع أ ∩ ب هو [2 ، 3]. نرى أن مكمل هذه المجموعة [2 ، 3] هو أيضًا [0 ، 2) U (3 ، 5]. بهذه الطريقة أثبتنا ذلك أ^ج يو ب^ج = (أ ∩ ب)^ج.

الآن نرى تقاطع [0 ، 1) U (3 ، 5] مع [0 ، 2) U (4 ، 5] هو [0 ، 1) U (4 ، 5]. نرى أيضًا أن مكمل [1 ، 4] هو أيضًا [0 ، 1) U (4 ، 5]. بهذه الطريقة أثبتنا ذلك أ^ج ∩ ب^ج = (أ يو ب)^ج.

طوال تاريخ المنطق ، والناس مثل أرسطو وأدلى وليام أوف أوكهام بتصريحات تعادل قوانين دي مورغان.

تمت تسمية قوانين دي مورغان على اسم أوغسطس دي مورغان ، الذي عاش في الفترة من 1806-1871. على الرغم من أنه لم يكتشف هذه القوانين ، إلا أنه كان أول من قدم هذه البيانات رسميًا باستخدام صيغة رياضية في المنطق الإفتراضي.