ما هي المجموعة الفارغة في نظرية المجموعات؟

متى لا يمكن أن يكون هناك شيء؟ يبدو وكأنه سؤال سخيف ، ومفارقة تماما. في المجال الرياضي لنظرية المجموعة ، من الروتيني أن لا يكون أي شيء سوى شيء. كيف يمكن أن يكون هذا؟

عندما نقوم بتشكيل مجموعة بدون عناصر ، لم يعد لدينا شيء. لدينا مجموعة مع لا شيء في ذلك. يوجد اسم خاص للمجموعة التي لا تحتوي على عناصر. وهذا ما يسمى مجموعة فارغة أو فارغة.

تعريف المجموعة الفارغة دقيق للغاية ويتطلب القليل من التفكير. من المهم أن نتذكر أننا نفكر في جلس كمجموعة من العناصر. المجموعة نفسها مختلفة عن العناصر التي تحتوي عليها.

على سبيل المثال ، سننظر إلى {5} ، وهي مجموعة تحتوي على العنصر 5. المجموعة {5} ليست رقما. إنها مجموعة ذات الرقم 5 كعنصر ، بينما 5 عبارة عن رقم.

بطريقة مماثلة ، المجموعة الفارغة ليست شيئًا. بدلا من ذلك ، هو مجموعة مع عدم وجود عناصر. يساعد على التفكير في مجموعات كحاويات ، والعناصر هي تلك الأشياء التي نضعها فيها. لا تزال الحاوية الفارغة عبارة عن حاوية وتشبه المجموعة الفارغة.

المجموعة الفارغة فريدة من نوعها ، وهذا هو السبب في أنه من المناسب تمامًا التحدث عنها ال مجموعة فارغة ، بدلا من

لا يوجد شيء خاص حول الأمثلة أعلاه لكل عنصر واحد. باستثناء واحد ، لأي عدد العد أو ما لا نهاية ، هناك مجموعات لا حصر لها من هذا الحجم. الاستثناء هو الرقم صفر. لا يوجد سوى مجموعة واحدة ، المجموعة الفارغة ، مع عدم وجود عناصر فيها.

الدليل الرياضي لهذه الحقيقة ليس بالأمر الصعب. نفترض أولاً أن المجموعة الفارغة ليست فريدة ، وأن هناك مجموعتان لا تحتويان على عناصر ، ثم نستخدم بعض الخصائص من نظرية المجموعة لإظهار أن هذا الافتراض ينطوي على تناقض.

يُشار إلى المجموعة الفارغة بالرمز ∅ ، الذي يأتي من رمز مشابه في الأبجدية الدنماركية. تشير بعض الكتب إلى المجموعة الفارغة باسمها البديل لمجموعة فارغة.

نظرًا لوجود مجموعة فارغة واحدة فقط ، فإنه من المفيد معرفة ما يحدث عند العمليات المحددة لـ يتم استخدام التقاطع والتوحيد والتكامل مع المجموعة الفارغة والمجموعة العامة التي سنشير إليها بواسطة اكس. من المثير للاهتمام أيضًا مراعاة مجموعة فرعية من المجموعة الفارغة ومتى تكون المجموعة الفارغة مجموعة فرعية. يتم جمع هذه الحقائق أدناه:

• ال تداخل من أي مجموعة مع مجموعة فارغة هي مجموعة فارغة. هذا لأنه لا توجد عناصر في المجموعة الفارغة ، وبالتالي فإن المجموعتين لا تحتويان على عناصر مشتركة. في الرموز ، نكتب اكس ∩ ∅ = ∅.
• ال اتحاد من أي مجموعة مع مجموعة فارغة هي المجموعة التي بدأنا معها. هذا لأنه لا توجد عناصر في المجموعة الفارغة ، ولذا فإننا لا نضيف أي عناصر إلى المجموعة الأخرى عندما نشكل الاتحاد. في الرموز ، نكتب اكس U ∅ = اكس.
• ال تكملة المجموعة الفارغة هي المجموعة العالمية للإعداد الذي نعمل فيه. وذلك لأن مجموعة جميع العناصر غير الموجودة في المجموعة الفارغة هي مجرد مجموعة من جميع العناصر.
• المجموعة الفارغة هي مجموعة فرعية من أي مجموعة. هذا لأننا نشكل مجموعات فرعية من مجموعة اكس عن طريق تحديد (أو عدم تحديد) عناصر من اكس. خيار واحد لمجموعة فرعية هو استخدام أي عناصر على الإطلاق من اكس. هذا يعطينا مجموعة فارغة.