ما هو التقريب العادي لتوزيع ذي الحدين؟

متغيرات عشوائية مع توزيع ذي الحدين ومن المعروف أن تكون منفصلة. هذا يعني أن هناك عددًا لا يحصى من النتائج التي يمكن أن تحدث في التوزيع ذي الحدين ، مع الفصل بين هذه النتائج. على سبيل المثال ، يمكن للمتغير ذي الحدين أن يأخذ قيمة من ثلاثة أو أربعة ، ولكن ليس في عدد يتراوح بين ثلاثة وأربعة.

مع الطابع المنفصل للتوزيع ذي الحدين ، من المدهش بعض الشيء أنه يمكن استخدام متغير عشوائي مستمر لتقريب التوزيع ذي الحدين. للكثير توزيعات ذات الحدين، يمكننا استخدام التوزيع الطبيعي لتقريب احتمالاتنا ذات الحدين.

ويمكن ملاحظة ذلك عند النظر إلى ن إرم عملة والسماح اكس يكون عدد الرؤوس. في هذه الحالة ، لدينا توزيع ذو حدين مع احتمال النجاح ص = 0.5. كما نزيد عدد إرم ، نرى أن الاحتمال الرسم البياني يحمل أكبر وأكبر تشابه إلى التوزيع الطبيعي.

يتم تعريف كل توزيع طبيعي بالكامل بواسطة اثنين أرقام حقيقية. هذه الأرقام هي الوسط الذي يقيس مركز التوزيع و الانحراف المعياريالذي يقيس انتشار التوزيع. في حالة ذات الحدين ، يجب أن نتمكن من تحديد التوزيع الطبيعي الذي يجب استخدامه.

يتم تحديد التوزيع الطبيعي الصحيح حسب عدد التجارب

على سبيل المثال ، افترض أننا خمننا في كل سؤال من الأسئلة المائة في اختبار متعدد الخيارات ، حيث كان لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة من بين أربعة خيارات. عدد الإجابات الصحيحة اكس هو متغير ذو الحدين عشوائي مع ن = 100 و ص = 0.25. وبالتالي فإن هذا المتغير العشوائي يعني 100 (0.25) = 25 والانحراف المعياري (100 (0.25) (0.75))^0.5 = 4.33. التوزيع العادي بمتوسط ​​25 والانحراف المعياري 4.33 سيعمل على تقريب هذا التوزيع ذي الحدين.

باستخدام بعض الرياضيات ، يمكن إثبات أن هناك بعض الشروط التي نحتاج إلى استخدام تقريب طبيعي لها توزيع ثنائي. عدد الملاحظات ن يجب أن تكون كبيرة بما فيه الكفاية ، وقيمة ص بحيث كلاهما np و ن(1 - ص) أكبر من أو تساوي 10. هذه هي قاعدة الإبهام ، والتي تسترشد الممارسة الإحصائية. يمكن دائمًا استخدام التقريب العادي ، ولكن إذا لم يتم استيفاء هذه الشروط ، فقد لا يكون التقريب جيدًا تقريبًا.

على سبيل المثال ، إذا ن = 100 و ص = 0.25 ثم لدينا ما يبررها في استخدام التقريب العادي. هذا بسبب np = 25 و ن(1 - ص) = 75. نظرًا لأن كلا هذين الرقمين أكبر من 10 ، فإن التوزيع الطبيعي المناسب سيقوم بعمل جيد إلى حد ما في تقدير الاحتمالات ذات الحدين.

يتم احتساب الاحتمالات ذات الحدين باستخدام صيغة واضحة للغاية للعثور على معامل ذي الحدين. لسوء الحظ ، بسبب الفصائل في الصيغة ، يمكن أن يكون من السهل جدا مواجهة صعوبات حسابية مع ذو الحدين معادلة. يسمح لنا التقريب العادي بتجاوز أي من هذه المشكلات من خلال العمل مع صديق مألوف ، وجدول قيم التوزيع الطبيعي القياسي.

في كثير من الأحيان يكون تحديد الاحتمال الذي يقع فيه متغير عشوائي ذو حدين ضمن نطاق من القيم أمرًا سهلاً في الحساب. هذا لأنه لإيجاد احتمال أن متغير ذي الحدين اكس أكبر من 3 وأقل من 10 ، نحتاج إلى إيجاد احتمال ذلك اكس يساوي 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9 ، ثم قم بإضافة كل هذه الاحتمالات معًا. إذا كان بالإمكان استخدام التقريب العادي ، فسنحتاج بدلاً من ذلك إلى تحديد الدرجات z المقابلة لـ 3 و 10 ، ثم نستخدم جدول الاحتمالات z ل التوزيع القياسي.