الاحتمالات ونرد الكذاب

يمكن تحليل العديد من ألعاب الحظ باستخدام رياضيات الاحتمال. في هذه المقالة ، سنبحث جوانب مختلفة من اللعبة تسمى Liar’s Dice. بعد وصف هذه اللعبة ، سنقوم بحساب الاحتمالات المتعلقة بها.

إن لعبة Liar’s Dice هي في الواقع عائلة من الألعاب تتضمن الخداع والخداع. هناك عدد من الأشكال المختلفة لهذه اللعبة ، وهي تمر بعدة أسماء مختلفة مثل Pirate’s Dice و Deception و Dudo. ظهرت نسخة من هذه اللعبة في فيلم Pirates of the Caribbean: Dead Man’s Chest.

في إصدار اللعبة التي سنفحصها ، كل لاعب لديه كوب ومجموعة من نفس العدد من الزهر. النرد هي قياسية ، النرد من ستة جوانب التي يتم ترقيمها من واحد إلى ستة. الجميع لفات النرد ، والحفاظ عليها مغطاة بالكأس. في الوقت المناسب ، ينظر اللاعب إلى مجموعته من الزهر ، ويبقيها مخفية عن أي شخص آخر. تم تصميم اللعبة بحيث يكون لكل لاعب معرفة كاملة بمجموعته الخاصة من الزهر ، ولكن ليس لديه أي معلومات عن الزهر الذي تم لفه.

بعد أن أتيحت للجميع فرصة للنظر في النرد الذي تم لفه ، تبدأ المزايدة. عند كل منعطف ، لدى اللاعب خياران: تقديم عرض أعلى أو استدعاء العرض السابق كذبة. يمكن زيادة عروض التسعير من خلال تقديم قيمة أعلى للنرد من واحد إلى ستة ، أو من خلال تقديم عدد أكبر من نفس قيمة النرد.

على سبيل المثال ، يمكن زيادة عرض السعر "Three twos" عن طريق ذكر "Four twos". ويمكن أيضا زيادتها بقول "ثلاثة ثلاثيات". بشكل عام ، لا يمكن تقليل عدد النرد أو قيم النرد.

نظرًا لأن معظم النرد مخفية عن الأنظار ، من المهم معرفة كيفية حساب بعض الاحتمالات. من خلال معرفة ذلك ، يكون من السهل معرفة ماهية العطاءات التي من المحتمل أن تكون صحيحة ، وأيها من المرجح أن تكون أكاذيب.

الاعتبار الأول هو أن نسأل ، "كم عدد الزهر من نفس النوع الذي نتوقعه؟" على سبيل المثال ، إذا طرحنا خمسة نرد ، فكم من هذه نتوقع أن نكون اثنين؟ الجواب على هذا السؤال يستخدم فكرة القيمة المتوقعة.

القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي هي احتمال قيمة معينة ، مضروبة في هذه القيمة.

احتمال أن يموت الأول هو اثنين 1/6. نظرًا لأن الزهر مستقل عن الآخر ، فإن احتمال أن يكون أي منهما اثنين هو 1/6. هذا يعني أن العدد المتوقع للصفوف المدرفلة هو 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

بالطبع ، لا يوجد شيء خاص عن نتيجة اثنين. لا يوجد أي شيء خاص حول عدد النرد التي درسناها. إذا توالينا ن النرد ، ثم العدد المتوقع لأي من النتائج المحتملة الستة ن/6. يُعرف هذا الرقم جيدًا لأنه يمنحنا خطًا أساسيًا لاستخدامه عند طرح الأسئلة من قِبل الآخرين.

على سبيل المثال ، إذا لعبنا نرد الكذاب بستة زهر ، فإن القيمة المتوقعة لأي من القيم من 1 إلى 6 هي 6/6 = 1. هذا يعني أننا يجب أن نكون متشككين إذا قام شخص ما بتقديم عطاءات لأكثر من واحدة من أي قيمة. على المدى الطويل ، سنقوم بمتوسط ​​واحد من كل القيم الممكنة.

لنفترض أننا نلف نرد خمسة ونريد أن نجد احتمالية دحرجتين. احتمال أن يكون الموت ثلاثة هو 1/6. احتمال أن يكون الموت ليس ثلاثة هو 5/6. لفات من هذه النرد هي أحداث مستقلة ، وبالتالي علينا مضاعفة الاحتمالات معا باستخدام قاعدة الضرب.

يتم إعطاء احتمال أن يكون النردان الأوليان هما النرد والنرد الآخر ليسا ثلاثين بواسطة المنتج التالي:

(1/6) × (1/6) × (5/6) × (5/6) × (5/6)

أول اثنين من الزهر يجري الثلاثات هو مجرد احتمال واحد. يمكن أن يكون النرد الذي هو الثلاثي أي اثنين من النرد الخمسة التي نلفها. نشير إلى الموت الذي لا يمثل ثلاثة. فيما يلي الطرق الممكنة للحصول على اثنين من ثلاث لفات:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

نرى أن هناك عشر طرق لطرد دقيقتين من كل خمسة نردات.

نحن الآن نضرب احتمالنا أعلاه بعشر طرق يمكن أن نمتلك بها تكوين النرد. والنتيجة هي 10 × (1/6) × (1/6) × (5/6) × (5/6) × (5/6) = 1250/7776. هذا ما يقرب من 16 ٪.

نحن الآن تعميم المثال أعلاه. نحن نعتبر احتمال المتداول ن النرد والحصول بالضبط ك التي لها قيمة معينة.

تمامًا كما كان من قبل ، فإن احتمال تدوير الرقم الذي نريده هو 1/6. يتم إعطاء احتمال عدم المتداول هذا الرقم بواسطة تكملة القاعدة في 5/6. نحن نريد ك من الزهر لدينا ليكون الرقم المحدد. هذا يعني ذاك ن - ك هي عدد غير الرقم الذي نريده. احتمال الأول ك النرد كونه عدد معين مع الزهر الآخر ، وليس هذا الرقم هو:

(1/6)^ك(5/6)^{ن - ك}

سيكون من الممل ، ناهيك عن مضيعة الوقت ، سرد جميع الطرق الممكنة لضبط تكوين معين من الزهر. هذا هو السبب في أنه من الأفضل استخدام مبادئ العد لدينا. من خلال هذه الاستراتيجيات ، نرى أننا نحسب مجموعات.

هناك C (ن, ك) طرق للفة ك من نوع معين من النرد من ن حجر النرد. يتم إعطاء هذا الرقم بواسطة الصيغة ن!/(ك!(ن - ك)!)

عند وضع كل شيء معًا ، نرى ذلك عندما نتدحرج ن الزهر ، احتمال أن بالضبط ك منهم عدد معين يتم إعطاؤه بواسطة الصيغة:

[ن!/(ك!(ن - ك)!)] (1/6)^{ك(5/6)ن - ك}

هناك طريقة أخرى للنظر في هذا النوع من المشاكل. هذا ينطوي على توزيع ثنائي مع احتمالية النجاح من قبل ص = 1/6. صيغة بالضبط ك لأن هذا النرد هو عدد معين يعرف باسم دالة الكتلة الاحتمالية للحدين توزيع.

هناك موقف آخر يجب أن نأخذه في الاعتبار وهو احتمال تدوير عدد معين على الأقل من قيمة معينة. على سبيل المثال ، عندما نلف خمسة نرد ، ما هو احتمال دحرجة ثلاث قطع على الأقل؟ يمكننا دحرجة ثلاثة أو أربعة أو خمسة. لتحديد الاحتمالية التي نريد إيجادها ، نجمع معًا ثلاثة احتمالات.

أدناه لدينا جدول الاحتمالات للحصول بالضبط ك ذات قيمة معينة عندما نلف خمسة نردات.

بعد ذلك ، نعتبر الجدول التالي. إنه يعطي احتمالية دحرجة رقم معين على الأقل من القيمة عندما ندير ما مجموعه خمسة مكعبات. نرى أنه على الرغم من أنه من المحتمل جدًا أن يتدحرج على الأقل واحد 2 ، إلا أنه من غير المحتمل أن يتدحرج على الأقل أربعة 2.