إن توزيع أحد المتغيرات العشوائية مهم ليس لتطبيقاته ، ولكن لما يخبرنا به عن تعريفاتنا. يعتبر توزيع كوشي مثالاً على ذلك ، يشار إليه أحيانًا كمثال مرضي. والسبب في ذلك هو أنه على الرغم من أن هذا التوزيع محدد جيدًا وله صلة بظاهرة مادية ، إلا أن التوزيع ليس له متوسط أو تباين. في الواقع ، هذا المتغير العشوائي لا يملك أ وظيفة توليد لحظة.
تعريف توزيع كوشي
نحدد توزيع Cauchy من خلال النظر إلى الدوار ، مثل النوع في لعبة الطاولة. سيتم تثبيت مركز هذا الدوار على ذ محور عند النقطة (0 ، 1). بعد تدوير الدوار ، سنقوم بتمديد جزء الخط من الدوار حتى يعبر المحور x. سيتم تعريف هذا بأنه متغيرنا العشوائي اكس.
ندع w تدل على أصغر الزوايا التي يجعلها الدوار مع ذ محور. نحن نفترض أن هذا الدوار على الأرجح سيشكل أي زاوية كآخر ، ولذا لدى W توزيع موحد يتراوح من π / 2 إلى π / 2.
يوفر لنا علم المثلثات الأساسي صلة بين متغيرين عشوائيين:
اكس = تانث.
وظيفة التوزيع التراكمي للاكسمشتق على النحو التالي:
ح(س) = ص(اكس < س) = ص(تانث < س) = ص(ث < أركاناكس)
ثم نستخدم حقيقة ذلكث هو موحد ، وهذا يعطينا:
ح(س) = 0.5 + (أركانس)/π
للحصول على دالة كثافة الاحتمال نقوم بتمييز دالة الكثافة التراكمية. النتيجه هي ح(خ) = 1/[π (1 + س2) ]
ملامح توزيع كوشي
ما يجعل توزيع Cauchy مثيرًا للاهتمام هو أنه على الرغم من أننا حددناه باستخدام النظام المادي لـ a spinner عشوائي ، متغير عشوائي مع توزيع Cauchy ليس له متوسط أو تباين أو توليد لحظة وظيفة. جميع ال لحظات حول الأصل المستخدم لتحديد هذه المعلمات غير موجودة.
نبدأ بالنظر في المتوسط. يتم تعريف الوسط بأنه القيمة المتوقعة لمتغيرنا العشوائي وهكذا Eاكس] = ∫-∞∞س /[π (1 + س2) ] دس.
نحن ندمج باستخدام الاستبدال. إذا وضعنا أنت = 1 +س2 ثم نرى ذلك دأنت = 2س دس. بعد إجراء الاستبدال ، لا يتقارب التكامل غير الصحيح الناتج. هذا يعني أن القيمة المتوقعة غير موجودة وأن الوسط غير معرف.
وبالمثل فإن التباين ولحظة توليد وظيفة غير محددة.
تسمية توزيع كوشي
يدعى توزيع كوشي لعالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لويس كوشي (1789 - 1857). على الرغم من تسمية هذا التوزيع باسم Cauchy ، فقد تم نشر المعلومات المتعلقة بالتوزيع أولاً بواسطة بويسون.