منحنى الجرس وتعريف التوزيع الطبيعي

المصطلح منحنى الجرس يستخدم لوصف المفهوم الرياضي الذي يسمى التوزيع الطبيعي ، والذي يشار إليه أحيانًا باسم التوزيع الغوسي. يشير "منحنى الجرس" إلى شكل الجرس الذي يتم إنشاؤه عند رسم خط باستخدام نقاط البيانات لعنصر يفي بمعايير التوزيع الطبيعي.

في منحنى الجرس ، يحتوي المركز على أكبر عدد من القيمة ، وبالتالي فهو أعلى نقطة على قوس الخط. يشار إلى هذه النقطة تعني، ولكن بعبارات بسيطة ، فهو أعلى عدد من تكرارات عنصر (من الناحية الإحصائية ، الوضع).

التوزيع الطبيعي

الشيء المهم أن نلاحظ حول التوزيع الطبيعي هو أن المنحنى يتركز في الوسط وينخفض ​​على أي من الجانبين. هذا مهم لأن البيانات لديها ميل أقل لإنتاج قيم متطرفة غير عادية ، تسمى القيم المتطرفة ، مقارنةً بالتوزيعات الأخرى. أيضًا ، يشير منحنى الجرس إلى أن البيانات متماثلة. هذا يعني أنه يمكنك إنشاء توقعات معقولة فيما يتعلق باحتمال وجود نتيجة في غضون تتراوح إلى يسار أو يمين المركز ، بمجرد قياس مقدار الانحراف الموجود في البيانات. هذا يقاس من حيث انحرافات معيارية.

يعتمد الرسم البياني لمنحنى الجرس على عاملين: الوسط والانحراف المعياري. يحدد الوسط موضع المركز ويحدد الانحراف المعياري ارتفاع وعرض الجرس. على سبيل المثال ، يخلق الانحراف المعياري الكبير جرسًا قصيرًا وعريضًا ، بينما يخلق الانحراف المعياري الصغير منحنى طويل وضيق.

منحنى الجرس والانحراف المعياري

لفهم عوامل الاحتمال للتوزيع الطبيعي ، تحتاج إلى فهم القواعد التالية:

  1. إجمالي المساحة تحت المنحنى يساوي 1 (100٪)
  2. يقع حوالي 68٪ من المساحة الموجودة أسفل المنحنى ضمن انحراف معياري واحد.
  3. يقع حوالي 95٪ من المساحة الموجودة أسفل المنحنى ضمن انحرافين معياريين.
  4. يقع حوالي 99.7٪ من المساحة الواقعة تحت المنحنى ضمن ثلاثة انحرافات معيارية.

يشار أحيانًا إلى العناصر 2 و 3 و 4 أعلاه باعتبارها القاعدة التجريبية أو القاعدة 68-95-99.7. بمجرد تحديد أن البيانات يتم توزيعها عادة (الجرس المنحني) وحساب المتوسط ​​و الانحراف المعياري، يمكنك تحديد احتمالا أن نقطة بيانات واحدة ستقع ضمن نطاق معين من الاحتمالات.

مثال منحنى الجرس

مثال جيد على منحنى الجرس أو التوزيع الطبيعي هو لفة من اثنين من الزهر. يتركز التوزيع حول الرقم سبعة وينخفض ​​الاحتمال كلما ابتعدت عن المركز.

هذه هي فرصة النسبة المئوية للنتائج المختلفة عندما تقوم بتدوير اثنين من الزهر.

  • الثاني: (1/36) 2.78%
  • ثلاثة: (2/36) 5.56%
  • أربعة: (3/36) 8.33%
  • خمسة: (4/36) 11.11%
  • ستة: (5/36) 13.89%
  • سبعة: (6/36) 16.67 ٪ = النتيجة الأكثر احتمالا
  • ثمانية: (5/36) 13.89%
  • تسع: (4/36) 11.11%
  • عشرة: (3/36) 8.33%
  • أحد عشر: (2/36) 5.56%
  • اثني عشر: (1/36) 2.78%

توزيعات عادية لها العديد من الخصائص المريحة ، لذلك في كثير من الحالات ، وخاصة في الفيزياء و الفلك، غالبًا ما يُفترض أن التغيرات العشوائية ذات التوزيعات غير المعروفة أمر طبيعي للسماح بحسابات الاحتمالات. على الرغم من أن هذا قد يكون افتراضًا خطيرًا ، إلا أنه غالبًا ما يكون تقريبًا جيدًا نتيجة لنتيجة مفاجئة تُعرف باسم نظرية الحد المركزي.

تنص هذه النظرية على أن متوسط ​​أي مجموعة من المتغيرات مع أي توزيع له متوسط ​​محدد والتباين يميل إلى الحدوث في التوزيع العادي. تتبع العديد من السمات الشائعة مثل درجات الاختبار أو الارتفاع توزيعات طبيعية تقريبًا ، مع وجود عدد قليل من الأعضاء في الأطراف العليا والمنخفضة والكثير في المنتصف.

عندما يجب أن لا تستخدم منحنى الجرس

هناك بعض أنواع البيانات التي لا تتبع نمط التوزيع العادي. لا ينبغي إجبار مجموعات البيانات هذه على محاولة احتواء منحنى الجرس. والمثال الكلاسيكي هو الدرجات الطلابية ، والتي غالباً ما يكون لها وضعان. تشمل الأنواع الأخرى من البيانات التي لا تتبع المنحنى الدخل والنمو السكاني والفشل الميكانيكي.

instagram story viewer