ما هو تعريف المتوسط ​​الرياضي؟

في الرياضيات والإحصاء ، يشير المتوسط ​​إلى مجموع مجموعة من القيم مقسومة على ن، أين ن هو عدد القيم في المجموعة. متوسط ​​يعرف أيضا باسم تعني.

مثل ال الوسيط و ال الوضع، المتوسط ​​هو مقياس الاتجاه المركزي ، مما يعني أنه يعكس قيمة نموذجية في مجموعة معينة. يتم استخدام المتوسطات بانتظام لتحديد الدرجات النهائية خلال الفصل الدراسي أو الفصل الدراسي. كما تستخدم المتوسطات كمقاييس للأداء. على سبيل المثال ، متوسطات الضرب تعبر عن عدد مرات ضرب لاعب البيسبول عندما يصل إلى الضرب. تعبر المسافة المقطوعة للغاز عن المسافة التي ستقطعها السيارة عادة في جالون الوقود.

بمعنى عام ، يشير المتوسط ​​إلى كل ما يعتبر شائعًا أو نموذجيًا.

يتم حساب المتوسط ​​الحسابي بأخذ مجموع مجموعة من القيم وقسمتها على عدد القيم في المجموعة. ومن المعروف أيضا باسم الوسط الحسابي. (يتم حساب الوسائل الأخرى ، مثل الوسائل الهندسية والتوافقية ، باستخدام المنتج والقيم التبادلية للقيم بدلاً من المجموع.)

مع مجموعة صغيرة من القيم ، لا يستغرق حساب المتوسط ​​سوى بضع خطوات بسيطة. على سبيل المثال ، دعونا نتخيل أننا نريد إيجاد متوسط ​​العمر بين مجموعة من خمسة أشخاص. أعمار كل منهم 12 و 22 و 24 و 27 و 35. أولاً ، نجمع هذه القيم لإيجاد مجموعها:

• 12 + 22 + 24 + 27 + 35 = 120

ثم نأخذ هذا المبلغ ونقسمه على عدد القيم (5):

• 120 ÷ 5 = 24

والنتيجة ، 24 ، هي متوسط ​​عمر الأفراد الخمسة.

المتوسط ​​، أو المتوسط ​​، ليس المقياس الوحيد للاتجاه المركزي ، على الرغم من أنه واحد من الأكثر شيوعًا. التدابير الشائعة الأخرى هي الوسيط والوضع.

الوسيط هو القيمة الوسطى في مجموعة معينة ، أو القيمة التي تفصل النصف الأعلى عن النصف السفلي. في المثال أعلاه ، متوسط ​​العمر بين الأفراد الخمسة هو 24 ، والقيمة التي تقع بين النصف الأعلى (27 ، 35) والنصف السفلي (12 ، 22). في حالة مجموعة البيانات هذه ، يكون الوسط والمتوسط ​​متماثلين ، ولكن ليس هذا هو الحال دائمًا. على سبيل المثال ، إذا كان أصغر فرد في المجموعة يبلغ من العمر 7 أعوام بدلاً من 12 ، فسيكون متوسط ​​العمر 23 عامًا. ومع ذلك ، سيظل المتوسط ​​24.

بالنسبة للإحصائيين ، يمكن أن يكون الوسيط مقياسًا مفيدًا للغاية ، خاصة عندما تحتوي مجموعة بيانات على قيم متطرفة ، أو قيم تختلف اختلافًا كبيرًا عن القيم الأخرى في المجموعة. في المثال أعلاه ، جميع الأفراد في غضون 25 عامًا من بعضهم البعض. ولكن ماذا لو لم يكن الأمر كذلك؟ ماذا لو كان أكبرهم 85 عامًا بدلاً من 35 عامًا؟ وسيجعل هذا الشكل الخارجي متوسط ​​العمر يصل إلى 34 عامًا ، وهي قيمة أكبر من 80 في المائة من القيم في المجموعة. وبسبب هذا ، لم يعد المتوسط ​​الرياضي يمثل تمثيلًا جيدًا للأعمار في المجموعة. متوسط ​​24 هو مقياس أفضل بكثير.

الوضع هو القيمة الأكثر شيوعًا في مجموعة بيانات ، أو القيمة الأكثر احتمالية للظهور في عينة إحصائية. في المثال أعلاه ، لا يوجد وضع لأن كل قيمة فردية فريدة. في عينة أكبر من الناس ، على الرغم من ذلك ، سيكون هناك على الأرجح العديد من الأفراد من نفس العمر ، وسيكون العمر الأكثر شيوعًا هو الوضع.

في المتوسط ​​العادي ، يتم التعامل مع كل قيمة في مجموعة بيانات معينة بالتساوي. وبعبارة أخرى ، فإن كل قيمة تساهم بقدر ما تساهم القيم الأخرى في المتوسط ​​النهائي. في متوسط ​​الوزنومع ذلك ، فإن بعض القيم لها تأثير أكبر على المتوسط ​​النهائي من غيرها. على سبيل المثال ، تخيل محفظة أسهم تتكون من ثلاثة أسهم مختلفة: الأسهم أ ، الأسهم ب ، والأسهم ج. خلال العام الماضي ، نمت قيمة السهم أ بنسبة 10 في المائة ، ونمت قيمة السهم ب 15 في المائة ، ونمت قيمة السهم ج بنسبة 25 في المائة. يمكننا حساب متوسط ​​النسبة المئوية للنمو عن طريق جمع هذه القيم وتقسيمها على ثلاثة. لكن هذا سيخبرنا فقط بالنمو الإجمالي للمحفظة إذا كان المالك يمتلك كميات متساوية من الأسهم أ ، الأسهم ب ، والأسهم ج. معظم المحافظ ، بالطبع ، تحتوي على مزيج من الأسهم المختلفة ، بعضها يشكل نسبة أكبر من المحفظة من غيرها.

للعثور على النمو الإجمالي للمحفظة ، نحتاج إلى حساب متوسط ​​مرجح بناءً على كمية كل سهم في المحفظة. على سبيل المثال ، سنقول إن السهم أ يشكل 20 في المائة من الحافظة ، والأسهم ب تشكل 10 في المائة ، والأسهم ج تشكل 70 في المائة.

نحن نقدر كل قيمة نمو بضربها في النسبة المئوية من المحفظة:

• الأسهم A = نمو بنسبة 10 بالمائة × 20 بالمائة للمحفظة = 200
• الأسهم ب = نمو 15 في المائة × 10 في المائة من المحفظة = 150
• الأسهم C = نمو بنسبة 25 بالمائة × 70 بالمائة للمحفظة = 1750

ثم نجمع هذه القيم الموزونة ونقسمها على مجموع قيم النسبة المئوية للمحفظة:

• (200 + 150 + 1750) ÷ (20 + 10 + 70) = 21

والنتيجة ، 21 في المائة ، تمثل النمو الإجمالي للمحفظة. لاحظ أنه أعلى من متوسط ​​قيم النمو الثلاثة وحدها - 16.67 - وهو أمر منطقي نظرًا لأن الأسهم الأعلى أداءً تشكل أيضًا نصيب الأسد من المحفظة.