الخصائص الرياضية للموجات

الموجات الجسدية موجات ميكانيكية، تتشكل من خلال اهتزاز وسط ، سواء كان خيطًا ، أو قشرة الأرض ، أو جزيئات الغازات والسوائل. للموجات خصائص رياضية يمكن تحليلها لفهم حركة الموجة. تقدم هذه المقالة خصائص الموجات العامة هذه ، بدلاً من كيفية تطبيقها في حالات معينة في الفيزياء.

هناك نوعان من الموجات الميكانيكية.

أ هو أن عمليات إزاحة الوسط متعامدة (مستعرضة) على اتجاه انتقال الموجة على طول الوسط. إن اهتزاز الخيط في حركة دورية ، بحيث تتحرك الموجات على طوله ، هو موجة عرضية ، مثل الموجات في المحيط.

أ موجه طويلة هو أن عمليات إزاحة الوسط ذهابًا وإيابًا على طول نفس اتجاه الموجة نفسها. تعد الموجات الصوتية ، حيث يتم دفع جزيئات الهواء في اتجاه السير ، مثالًا على الموجة الطولية.

على الرغم من أن الموجات التي تمت مناقشتها في هذه المقالة ستشير إلى السفر في وسيط ، يمكن استخدام الرياضيات المقدمة هنا لتحليل خصائص الموجات غير الميكانيكية. الإشعاع الكهرومغناطيسي ، على سبيل المثال ، قادر على السفر عبر الفضاء الخالي ، ولكن لا يزال لديه نفس الخصائص الرياضية مثل الموجات الأخرى. على سبيل المثال ، تأثير دوبلر للموجات الصوتية

1. يمكن النظر إلى الأمواج على أنها اضطراب في الوسط حول حالة التوازن ، والتي تكون عمومًا في حالة راحة. طاقة هذا الاضطراب هي التي تسبب حركة الموجة. تتجمع مجموعة من المياه عند عدم وجود موجات ، ولكن بمجرد رمي حجر فيها ، ينزعج توازن الجسيمات وتبدأ حركة الموجة.
2. اضطراب الموجة يسافر ، أو ينتشر، بسرعة محددة تسمى سرعة الموجة (الخامس).
3. الأمواج تنقل الطاقة ، ولكن لا يهم. الوسط نفسه لا يسافر ؛ تخضع الجسيمات الفردية للخلف وللأمام أو لأعلى ولأسفل حول وضع التوازن.

لوصف حركة الموجة رياضيا ، نشير إلى مفهوم أ دالة الموجة، الذي يصف موضع الجسيم في الوسط في أي وقت. أبسط وظائف الموجة هي موجة جيبية ، أو موجة جيبية ، وهي موجة دورية (أي موجة بحركة متكررة).

من المهم أن نلاحظ أن الدالة الموجية لا تصور الموجة الفيزيائية ، بل هي رسم بياني للإزاحة حول وضع التوازن. يمكن أن يكون هذا مفهومًا محيرًا ، ولكن الشيء المفيد هو أنه يمكننا استخدام موجة جيبية لتصوير أكثر دورية حركات ، مثل التحرك في دائرة أو تأرجح البندول ، والتي لا تبدو بالضرورة تشبه الموجة عند عرض اقتراح.

• سرعة الموجة (الخامس) - سرعة انتشار الموجة
• السعة (أ) - الحد الأقصى لحجم الإزاحة من التوازن بوحدات SI بالأمتار. بشكل عام ، هي المسافة من نقطة منتصف التوازن للموجة إلى أقصى إزاحة لها ، أو أنها نصف الإزاحة الكلية للموجة.
• فترة (ت) - هو الوقت المناسب لدورة موجية واحدة (نبضتان ، أو من القمة إلى القمة أو الحوض إلى الحوض الصغير) ، بوحدات SI بالثواني (على الرغم من أنه قد يشار إليها باسم "الثواني لكل دورة").
• تكرر (F) - عدد الدورات في وحدة زمنية. وحدة التردد SI هي هرتز (Hz) و

  1 هرتز = 1 دورة / ثانية = 1 ثانية^-1

• التردد الزاوي (ω) - هي 2π ضرب التردد بوحدات الراديان في الثانية.
• الطول الموجي (λ) - المسافة بين أي نقطتين في المواضع المقابلة على التكرار المتتالي في الموجة ، لذلك (على سبيل المثال) من قمة واحدة أو قاع إلى أخرى ، في وحدات SI من الأمتار.
• رقم الموجة (ك) - يسمى أيضا ثابت الانتشار، يتم تعريف هذه الكمية المفيدة على أنها 2 π مقسومًا على الطول الموجي ، لذا فإن وحدات SI هي راديان لكل متر.
• نبض - نصف طول الموجة من التوازن الخلفي

بعض المعادلات المفيدة في تحديد الكميات أعلاه هي:

الخامس = λ / ت = λ و

ω = 2 π و = 2 π/ت

ت = 1 / F = 2 π/ω

ك = 2π/ω

ω = vk

الموضع العمودي لنقطة على الموجة ، ذ، يمكن العثور عليها كدالة للموضع الأفقي ، سوالوقت ر، عندما ننظر إليها. نشكر علماء الرياضيات اللطفاء للقيام بهذا العمل من أجلنا ، ونحصل على المعادلات المفيدة التالية لوصف حركة الموجة:

ذ(س ، ر) = أ خطيئة ω(ر - س/الخامس) = أ خطيئة 2π و(ر - س/الخامس)

ذ(س ، ر) = أ خطيئة 2π(ر/ت - س/الخامس)

ذ (س ، ر) = أ خطيئة (ω ر - KX)

ميزة أخيرة للدالة الموجية هي أن تطبق حساب التفاضل والتكامل لأخذ المشتق الثاني ينتج معادلة الموجة، وهو منتج مثير للاهتمام ومفيد في بعض الأحيان (والذي ، مرة أخرى ، نشكر علماء الرياضيات ونقبله دون إثباته):

د²ذ / DX² = (1 / الخامس²) د²ذ / د²

المشتق الثاني من ذ بالنسبة إلى س يساوي المشتق الثاني لـ ذ بالنسبة إلى ر مقسومًا على مربع سرعة الموجة. الفائدة الرئيسية لهذه المعادلة هي ذلك كلما حدث ذلك ، نعلم أن الوظيفة ذ بمثابة موجة بسرعة الموجة الخامس وبالتالي ، يمكن وصف الموقف باستخدام الدالة الموجية.