إحدى الطرق الشائعة لدراسة الاحتمال هي رمي النرد. القالب القياسي له ستة جوانب مطبوعة مع نقاط صغيرة ترقيم 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6. إذا كان الموت عادلاً (وسوف نفعل افترض أن كل منهم) ، ثم كل من هذه النتائج من المحتمل أن تكون متساوية. نظرًا لوجود ست نتائج محتملة ، فإن احتمال الحصول على أي جانب من جوانب القالب هو 1/6. احتمال دحرجة a 1 هو 1/6 ، واحتمال دحرجة 2 هو 1/6 ، وهكذا. ولكن ماذا يحدث إذا أضفنا يموت آخر؟ ما هي احتمالات رمي النرد؟
احتمالية لفة النرد
لتحديد احتمال لفة النرد بشكل صحيح ، نحتاج إلى معرفة شيئين:
- حجم فضاء العينة أو مجموعة من النتائج الإجمالية المحتملة
- عدد مرات حدوث الحدث
في احتمالا، الحدث عبارة عن مجموعة فرعية معينة من مساحة العينة. على سبيل المثال ، عندما يتم لف قالب واحد فقط ، كما في المثال أعلاه ، فإن مساحة العينة تساوي جميع القيم الموجودة على القالب ، أو المجموعة (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6). بما أن القالب عادل ، فإن كل رقم في المجموعة يحدث مرة واحدة فقط. وبعبارة أخرى ، فإن تكرار كل رقم هو 1. لتحديد احتمالية دحرجة أي من الأرقام الموجودة على القالب ، نقسم تردد الحدث (1) على حجم مساحة العينة (6) ، مما ينتج عنه احتمال 1/6.
إن رمي نرد عادل أكثر من الضعف يضاعف صعوبة حساب الاحتمالات. وذلك لأن دحرجة يموت مستقلة عن دحرجة واحدة أخرى. لفة واحدة ليس لها تأثير على الأخرى. عند التعامل مع الأحداث المستقلة نستخدم قاعدة الضرب. يوضح استخدام الرسم البياني الشجري أن هناك 6 × 6 = 36 نتيجة محتملة من رمي النرد.
لنفترض أن القالب الأول الذي نلفه يأتي كعدد 1. يمكن أن تكون لفة القالب الأخرى 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6. لنفترض الآن أن الموت الأول هو 2. يمكن أن تكون لفة القالب الأخرى مرة أخرى 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6. لقد وجدنا بالفعل 12 نتيجة محتملة ، ولم نستنفد بعد جميع احتمالات الوفاة الأولى.
جدول الاحتمالات لدحرجة النرد
يتم تمثيل النتائج المحتملة لدحرجة النرد في الجدول أدناه. لاحظ أن عدد النتائج الإجمالية المحتملة يساوي مساحة عينة القالب الأول (6) تضاعف بفراغ العينة للموت الثاني (6) أي 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
ثلاثة أو أكثر من الزهر
ينطبق نفس المبدأ إذا كنا نعمل على المشاكل التي تنطوي على ثلاثة الزهر. نضرب ونرى أن هناك 6 × 6 × 6 = 216 نتيجة محتملة. بما أن كتابة عملية الضرب المتكررة مرهقة ، يمكننا استخدام الأسس لتبسيط العمل. لاثنين من الزهر ، هناك 62 النتائج الممكنة. لثلاثة نرد ، هناك 63 النتائج الممكنة. بشكل عام ، إذا دحرجنا ن النرد ، ثم هناك ما مجموعه 6ن النتائج الممكنة.
مشاكل العينة
من خلال هذه المعرفة ، يمكننا حل جميع أنواع مشاكل الاحتمالات:
1. يتم لف نرد سداسي الأضلاع. ما هو احتمال أن يكون مجموع النرد سبعة؟
أسهل طريقة لحل هذه المشكلة هي استشارة الجدول أعلاه. ستلاحظ أنه في كل صف هناك لفة نرد واحدة حيث مجموع النرد يساوي سبعة. نظرًا لوجود ستة صفوف ، هناك ستة نتائج محتملة حيث يساوي مجموع النرد سبعة. ويظل عدد النتائج المحتملة الإجمالية 36. مرة أخرى ، نجد الاحتمال بقسمة تردد الحدث (6) على حجم مساحة العينة (36) ، مما ينتج عنه احتمال 1/6.
2. يتم لف نرد سداسي الأضلاع. ما هو احتمال ذلك المجموع من الزهر هو ثلاثة؟
في المشكلة السابقة ، ربما لاحظت أن الخلايا التي يكون فيها مجموع النردين يساوي سبعة تشكل قطريًا. وينطبق الشيء نفسه هنا ، باستثناء في هذه الحالة هناك خليتان فقط حيث يكون مجموع الزهر ثلاث. وذلك لأن هناك طريقتان فقط للحصول على هذه النتيجة. يجب أن تدحرج 1 و 2 أو يجب أن تدحرج 2 و 1. تركيبات لف مبلغ سبعة أكبر بكثير (1 و 6 و 2 و 5 و 3 و 4 ، وما إلى ذلك). لإيجاد احتمالية أن يكون مجموع النرد ثلاثة ، يمكننا تقسيم تردد الحدث (2) على حجم مساحة العينة (36) ، مما ينتج عنه احتمال 1/18.
3. يتم لف نرد سداسي الأضلاع. ما هو الاحتمال الذي أعداد على النرد مختلفة؟
مرة أخرى ، يمكننا بسهولة حل هذه المشكلة عن طريق الرجوع إلى الجدول أعلاه. ستلاحظ أن الخلايا التي تكون فيها الأرقام على الزهر هي نفسها بشكل قطري. لا يوجد سوى ستة منهم ، وبمجرد شطبها لدينا الخلايا المتبقية التي تختلف فيها الأرقام على الزهر. يمكننا أن نأخذ عدد التوليفات (30) ونقسمها على حجم مساحة العينة (36) ، مما ينتج عنه احتمال 5/6.