ليست كل المجموعات اللانهائية هي نفسها. إحدى الطرق للتمييز بين هذه المجموعات هي بالسؤال عما إذا كانت المجموعة لا تحصى لانهائية أم لا. بهذه الطريقة ، نقول أن المجموعات اللانهائية إما معدودة أو غير معدودة. سننظر في عدة أمثلة للمجموعات اللانهائية ونحدد أي منها لا يحصى.
لا تعد ولا تحصى
نبدأ باستبعاد عدة أمثلة لمجموعات لا نهائية. تم العثور على العديد من المجموعات اللانهائية التي قد نفكر بها على الفور أنها لا نهائية بشكل كبير. هذا يعني أنه يمكن وضعها في مراسلات فردية مع الأرقام الطبيعية.
إن الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية كلها لا حصر لها. أي اتحاد أو تقاطع لمجموعات لا حصر لها يمكن عده أيضًا. المنتج الديكارتي لأي عدد من المجموعات المعدودة يمكن حسابه. أي مجموعة فرعية من مجموعة قابلة للعد يمكن حسابها أيضًا.
غير معدود
الطريقة الأكثر شيوعًا لإدخال مجموعات غير معدودة هي في مراعاة الفاصل الزمني (0 ، 1) لـ أعداد حقيقية. من هذه الحقيقة ، ووظيفة رأس برأس F( س ) = bx + أ. إنه نتيجة طبيعية مباشرة لإظهار أن أي فترة (أ, ب) من الأعداد الحقيقية لا حصر لها.
المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية لا تعد أيضًا. تتمثل إحدى طرق إظهار ذلك في استخدام دالة المماس بين طرفين
F ( س ) = تان س. مجال هذه الوظيفة هو الفاصل الزمني (-π / 2 ، π / 2) ، وهي مجموعة لا تعد ولا تحصى ، والنطاق هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.مجموعات أخرى لا تحصى
يمكن استخدام عمليات نظرية المجموعة الأساسية لإنتاج المزيد من الأمثلة لمجموعات لا حصر لها:
- إذا أ هي مجموعة فرعية من ب و أ لا تعد ، ثم كذلك ب. يوفر هذا دليلاً أكثر وضوحًا على أن المجموعة الكاملة من الأرقام الحقيقية لا تعد ولا تحصى.
- إذا أ لا تحصى و ب أي مجموعة ، ثم النقابة أ ش ب هو أيضا لا يحصى.
- إذا أ لا تحصى و ب هو أي مجموعة ، ثم المنتج الديكارتي أ س ب هو أيضا لا يحصى.
- إذا أ هو لانهائي (حتى لانهائي لا يحصى) ثم مجموعة الطاقة من أ لا تحصى.
مثالان آخران ، مرتبطان ببعضهما البعض ، يثيران الدهشة إلى حد ما. ليست كل مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية لا حصر لها بشكل لا نهائي (في الواقع ، تشكل الأعداد المنطقية مجموعة فرعية قابلة للعد من الأرقام الواقعية الكثيفة أيضًا). بعض المجموعات الفرعية غير محدودة.
تنطوي إحدى هذه المجموعات الفرعية اللانهائية على أنواع معينة من التوسعات العشرية. إذا اخترنا رقمين وشكلنا كل توسع عشري محتمل باستخدام هذين الرقمين فقط ، فإن المجموعة اللانهائية الناتجة لا تعد.
مجموعة أخرى أكثر تعقيدًا في البناء ولا تعد أيضًا. ابدأ بالفاصل الزمني المغلق [0،1]. قم بإزالة الثلث الأوسط من هذه المجموعة ، مما يؤدي إلى [0 ، 1/3] U [2/3 ، 1]. الآن قم بإزالة الثلث الأوسط من كل قطعة متبقية من المجموعة. لذلك تتم إزالة (1/9 ، 2/9) و (7/9 ، 8/9). نواصل بهذه الطريقة. مجموعة النقاط المتبقية بعد إزالة كل هذه الفواصل ليست فترة ، ومع ذلك ، فهي لا حصر لها بشكل لا نهائي. هذه المجموعة تسمى مجموعة كانتور.
هناك عدد لا نهائي من المجموعات غير المعدودة ، ولكن الأمثلة المذكورة أعلاه هي بعض المجموعات الأكثر شيوعًا.