صيغة القيمة المتوقعة

أحد الأسئلة الطبيعية التي يجب طرحها حول التوزيع الاحتمالي هو "ما هو مركزه؟" القيمة المتوقعة هي أحد هذه القياسات لمركز التوزيع الاحتمالي. نظرًا لأنه يقيس المتوسط ​​، فلا غرابة في أن هذه الصيغة مشتقة من تلك الوسطية.

لإنشاء نقطة بداية ، يجب أن نجيب على السؤال "ما هي القيمة المتوقعة؟" لنفترض أن لدينا متغيرًا عشوائيًا مرتبطًا بتجربة احتمالية. لنفترض أننا نكرر هذه التجربة مرارًا وتكرارًا. على المدى الطويل للعديد من التكرار لنفس التجربة الاحتمالية ، إذا قمنا بحساب متوسط ​​جميع قيمنا لـ متغير عشوائي، سوف نحصل على القيمة المتوقعة.

في ما يلي سنرى كيفية استخدام الصيغة للقيمة المتوقعة. سنلقي نظرة على كل من الإعدادات المنفصلة والمستمرة ونرى أوجه التشابه والاختلاف في الصيغ.

نبدأ بتحليل الحالة المنفصلة. نظرا لمتغير عشوائي منفصل Xلنفترض أن لها قيم س₁, س₂, س₃,... س_ن، واحتمالات كل من ص₁, ص₂, ص₃,... ص_ن. هذا يعني أن دالة الكتلة الاحتمالية لهذا المتغير العشوائي تعطي F(س_أنا) = ص_أنا.

القيمة المتوقعة X من الصيغة:

E (X) = س₁ص₁ + س₂ص₂ + س₃ص₃ +... + س_نص_ن.

يسمح لنا استخدام دالة الكتلة الاحتمالية وتدوين التجميع بكتابة هذه الصيغة بشكل أكثر دقة على النحو التالي ، حيث يتم أخذ الجمع فوق الفهرس

E (X) = Σ س_أناF(س_أنا).

من المفيد رؤية هذا الإصدار من الصيغة لأنه يعمل أيضًا عندما يكون لدينا مساحة عينة غير محدودة. يمكن أيضًا تعديل هذه الصيغة بسهولة للحالة المستمرة.

اقلب عملة معدنية ثلاث مرات واتركها X يكون عدد الرؤوس. المتغير العشوائي X منفصلة ومحدودة. القيم الممكنة الوحيدة التي يمكن أن تكون لدينا هي 0 و 1 و 2 و 3. يحتوي هذا التوزيع الاحتمالي 1/8 لـ X = 0 ، 3/8 لـ X = 1 ، 3/8 لـ X = 2 ، 1/8 ل X = 3. استخدم صيغة القيمة المتوقعة للحصول على:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

في هذا المثال ، نرى أنه على المدى الطويل ، سوف نحسب ما مجموعه 1.5 رأسًا من هذه التجربة. هذا منطقي مع حدسنا حيث أن نصف 3 هو 1.5.

ننتقل الآن إلى متغير عشوائي مستمر ، والذي سنشير إليه بـ X. سنترك دالة كثافة الاحتمال X تعطى من الوظيفة F(س).

القيمة المتوقعة X من الصيغة:

E (X) = ∫ س و(س) دس.

نرى هنا أن القيمة المتوقعة لمتغيرنا العشوائي يتم التعبير عنها على أنها جزء لا يتجزأ.

هنالك الكثير تطبيقات للقيمة المتوقعة متغير عشوائي. هذه الصيغة تجعل مظهر مثير للاهتمام في مفارقة سانت بطرسبرغ.