ما هي القيمة المتوقعة في الاحتمال؟

أنت في كرنفال وترى مباراة. مقابل 2 دولار ، تقوم بتدوير قالب قياسي سداسي الجوانب. إذا كان الرقم الذي يظهر هو ستة ، فستربح 10 دولارات ، وإلا فلن تكسب شيئًا. إذا كنت تحاول جني المال ، فهل من مصلحتك أن تلعب اللعبة؟ للإجابة على سؤال مثل هذا نحتاج إلى مفهوم القيمة المتوقعة.

يمكن التفكير في القيمة المتوقعة على أنها وسيلة لمتغير عشوائي. هذا يعني أنه إذا قمت بتشغيل تجربة احتمالية مرارًا وتكرارًا ، وتتبع النتائج ، فإن القيمة المتوقعة هي معدل من جميع القيم التي تم الحصول عليها. القيمة المتوقعة هي ما يجب أن تتوقع حدوثه على المدى الطويل للعديد من التجارب للعبة الحظ.

لعبة الكرنفال المذكورة أعلاه هي مثال لمتغير عشوائي منفصل. المتغير غير مستمر وتأتي كل نتيجة لنا في رقم يمكن فصله عن الآخرين. للعثور على القيمة المتوقعة للعبة التي لها نتائج س₁, س₂,..., س_ن مع الاحتمالات ص₁, ص₂,... , ص_ن، احسب:

س₁ص₁ + س₂ص₂ +... + س_نص_ن.

بالنسبة للعبة أعلاه ، لديك احتمال 5/6 بعدم الفوز بأي شيء. قيمة هذه النتيجة هي -2 منذ أن أنفقت دولارين للعب اللعبة. الرقم 6 لديه احتمال 1/6 للظهور ، وهذه القيمة لها نتيجة 8. لماذا 8 وليس 10؟ مرة أخرى نحتاج إلى حساب 2 دولار دفعنا للعب ، و10-2 = 8.

الآن قم بتوصيل هذه القيم والاحتمالات في المتوقع صيغة القيمة وينتهي بـ: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. هذا يعني أنه على المدى الطويل ، يجب أن تتوقع أن تخسر في المتوسط ​​حوالي 33 سنتًا في كل مرة تلعب فيها هذه اللعبة. نعم ، سوف تفوز في بعض الأحيان. لكنك ستخسر أكثر.

افترض الآن أن لعبة الكرنفال قد تم تعديلها قليلاً. لنفس رسوم الدخول التي تبلغ 2 دولارًا ، إذا كان الرقم المعروض هو ستة ، فستربح 12 دولارًا ، وإلا فلن تكسب شيئًا. القيمة المتوقعة لهذه اللعبة هي -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. على المدى الطويل ، لن تخسر أي أموال ، ولكنك لن تربح أي أموال. لا تتوقع أن ترى مباراة بهذه الأرقام في كرنفالك المحلي. إذا لم تخسر أي أموال على المدى الطويل ، فلن يكسب الكرنفال أي أموال.

أنتقل الآن إلى الكازينو. بالطريقة نفسها كما في السابق ، يمكننا حساب القيمة المتوقعة لألعاب الحظ مثل لعبة الروليت. في الولايات المتحدة ، تحتوي عجلة الروليت على 38 فتحة مرقمة من 1 إلى 36 و 0 و 00. نصف 1-36 حمراء ونصف سوداء. كلا 0 و 00 باللون الأخضر. تسقط الكرة بشكل عشوائي في إحدى الفتحات ، وتوضع الرهانات على المكان الذي ستهبط فيه الكرة.

أحد أبسط الرهانات هو المراهنة باللون الأحمر. هنا إذا راهنت بدولار واحد وسقطت الكرة على رقم أحمر في العجلة ، فستربح 2 دولار. إذا سقطت الكرة على مساحة سوداء أو خضراء في العجلة ، فلن تربح شيئًا. ما هي القيمة المتوقعة لرهان مثل هذا؟ نظرًا لوجود 18 مساحة حمراء ، هناك احتمال 18/38 للفوز ، مع صافي ربح قدره 1 دولار. هناك احتمال 20/38 لفقدان رهانك الأولي بقيمة 1 دولار. القيمة المتوقعة لهذا الرهان في الروليت تساوي 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38 ، أي حوالي 5.3 سنت. هنا المنزل لديه حافة طفيفة (كما هو الحال مع جميع ألعاب الكازينو).

كمثال آخر ، ضع في اعتبارك أ اليانصيب. على الرغم من أنه يمكن ربح الملايين بسعر تذكرة 1 دولار ، إلا أن القيمة المتوقعة للعبة اليانصيب توضح كيف يتم بناؤها بطريقة غير عادلة. لنفترض أنه مقابل دولار واحد ، اخترت ستة أرقام من 1 إلى 48. احتمال اختيار جميع الأرقام الستة بشكل صحيح هو 1 / 12،271،512. إذا ربحت مليون دولار للحصول على الستة أرقام الصحيحة ، فما هي القيمة المتوقعة لهذا اليانصيب؟ القيم المحتملة هي - $ 1 للخسارة و 999،999 $ للفوز (مرة أخرى يجب أن نأخذ في الاعتبار تكلفة اللعب وطرح هذا من المكاسب). هذا يعطينا قيمة متوقعة:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

لذلك إذا كنت ستلعب اليانصيب مرارًا وتكرارًا ، على المدى الطويل ، ستفقد حوالي 92 سنتًا - تقريبًا كل سعر التذكرة - في كل مرة تلعب فيها.

جميع الأمثلة المذكورة أعلاه تبدو منفصلة متغير عشوائي. ومع ذلك ، من الممكن تحديد القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي مستمر أيضًا. كل ما يجب علينا القيام به في هذه الحالة هو استبدال الجمع في صيغتنا بجزء لا يتجزأ.

من المهم أن نتذكر أن القيمة المتوقعة هي المتوسط ​​بعد العديد من التجارب عملية عشوائية. على المدى القصير ، يمكن أن يختلف متوسط ​​المتغير العشوائي بشكل كبير عن القيمة المتوقعة.