مثال التقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين

يتضمن التوزيع ذو الحدين أ منفصله متغير عشوائي. الاحتمالات في وضع ذي الحدين يمكن حسابها بطريقة مباشرة باستخدام الصيغة لمعامل ذي الحدين. بينما من الناحية النظرية ، هذه عملية حسابية سهلة ، من الناحية العملية يمكن أن تصبح مملة جدًا أو حتى مستحيلة حسابياً حساب الاحتمالات ذات الحدين. يمكن تجنب هذه المشكلات باستخدام التوزيع الطبيعيلتقريب التوزيع ذي الحدين. سنرى كيفية القيام بذلك من خلال اتباع خطوات الحساب.

أولاً ، يجب أن نحدد ما إذا كان من المناسب استخدام التقريب الطبيعي. ليس كل توزيع ثنائي هو نفسه. البعض يعرض ما يكفي انحراف أننا لا نستطيع استخدام تقريب عادي. للتحقق لمعرفة ما إذا كان ينبغي استخدام التقريب الطبيعي ، نحتاج إلى النظر في قيمة ص، وهو احتمال النجاح ، و نوهو عدد مشاهدات ملاحظاتنا متغير ذو الحدين.

من أجل استخدام التقريب الطبيعي ، نعتبر كلاهما np و ن( 1 - ص ). إذا كان كلا هذين الرقمين أكبر من أو يساوي 10 ، فنحن مُبررون باستخدام التقريب الطبيعي. هذه هي قاعدة عامة ، وعادة ما تكون أكبر قيم np و ن( 1 - ص ) ، كان التقريب أفضل.

سنقوم بمقارنة الاحتمال ذي الحدين الدقيق مع ذلك الذي تم الحصول عليه عن طريق تقريب طبيعي. نحن نفكر في رمي 20 عملة معدنية ونريد أن نعرف احتمالية وجود خمس عملات معدنية أو أقل. إذا

ف (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5).

ال استخدام الصيغة ذات الحدين لكل من هذه الاحتمالات الستة تبين لنا أن الاحتمال هو 2.0695٪. سنرى الآن مدى قرب تقريبنا الطبيعي لهذه القيمة.

التحقق من الشروط ، نرى أن كليهما np و np(1 - ص) يساوي 10. يوضح هذا أنه يمكننا استخدام التقريب الطبيعي في هذه الحالة. سنستخدم التوزيع الطبيعي بمتوسط np = 20 (0.5) = 10 والانحراف المعياري (20 (0.5) (0.5))^0.5 = 2.236.

لتحديد احتمال ذلك X أقل من أو يساوي 5 نحتاج للعثور على ض-درجة ل 5 في التوزيع العادي الذي نستخدمه. هكذا ض = (5 – 10)/2.236 = -2.236. من خلال استشارة جدول ض-درجات نرى أن احتمال ذلك ض أقل من أو يساوي -2.236 هو 1.267٪. هذا يختلف عن الاحتمال الفعلي ولكنه في حدود 0.8٪.

لتحسين تقديرنا ، من المناسب إدخال عامل تصحيح الاستمرارية. يستخدم هذا ل التوزيع الطبيعي يكون مستمر في حين أن توزيع ثنائي منفصلة. لمتغير عشوائي ذي الحدين ، الرسم البياني الاحتمالي ل X = 5 سيتضمن شريطًا يتراوح من 4.5 إلى 5.5 ويتركز في 5.

هذا يعني أنه بالنسبة للمثال أعلاه ، الاحتمال الذي X هو أقل من أو يساوي 5 لمتغير ذي الحدين يجب تقديره باحتمال X أقل من 5.5 أو يساوي لمتغير عادي مستمر. هكذا ض = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. احتمالية ذلك ض