ما هو التوزيع السلبي ذي الحدين؟

التوزيع السلبي ذو الحدين هو توزيع الاحتمالات يتم استخدامه مع المتغيرات العشوائية المنفصلة. يتعلق هذا النوع من التوزيع بعدد التجارب التي يجب أن تحدث من أجل الحصول على عدد محدد مسبقًا من النجاحات. كما سنرى ، يرتبط التوزيع ذو الحدين السالب بـ توزيع ثنائي. بالإضافة إلى ذلك ، يعمم هذا التوزيع التوزيع الهندسي.

سنبدأ بالنظر في كل من الإعداد والظروف التي تؤدي إلى توزيع ذي حدين سلبي. العديد من هذه الحالات تشبه إلى حد كبير الإعداد ذي الحدين.

1. لدينا تجربة برنولي. وهذا يعني أن كل تجربة نجريها لها نجاح وفشل محددان جيدًا وأن هذه هي النتائج الوحيدة.
2. احتمالية النجاح ثابتة بغض النظر عن عدد المرات التي نجري فيها التجربة. نشير إلى هذا الاحتمال المستمر مع أ ص.
3. يتم تكرار التجربة من أجل X محاكمات مستقلة ، وهذا يعني أن نتيجة تجربة واحدة ليس لها تأثير على نتيجة محاكمة لاحقة.

هذه الشروط الثلاثة مطابقة لتلك الموجودة في توزيع ذي الحدين. الفرق هو أن المتغير العشوائي ذي الحدين لديه عدد ثابت من التجارب ن. القيم الوحيدة X هي 0 ، 1 ، 2 ،... ، ن، لذلك هذا توزيع محدود.

يتعلق التوزيع السلبي ذو الحدين بعدد التجارب X التي يجب أن تحدث حتى نحصل عليها

للمساعدة في فهم التوزيع السلبي ذي الحدين ، من المفيد النظر في مثال. لنفترض أننا نقلب عملة عادلة ونطرح السؤال ، "ما هو احتمال أن نحصل على ثلاثة رؤوس في الأول X تقلبات العملة؟ "هذا هو الموقف الذي يتطلب التوزيع السلبي ذي الحدين.

تقلبات العملة لها نتيجتان محتملتان ، واحتمال النجاح ثابت 1/2 ، والتجارب التي تكون مستقلة عن بعضها البعض. نطلب احتمال الحصول على الرؤوس الثلاثة الأولى بعد X تقلبات العملة. وبالتالي يتعين علينا قلب العملة ثلاث مرات على الأقل. ثم نستمر في التقليب حتى يظهر الرأس الثالث.

من أجل حساب الاحتمالات المتعلقة بالتوزيع السلبي ذي الحدين ، نحتاج إلى مزيد من المعلومات. نحتاج إلى معرفة دالة الكتلة الاحتمالية.

يمكن تطوير دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع السلبي ذي الحدين بقليل من التفكير. كل تجربة لديها احتمال النجاح الذي قدمته ص. نظرًا لوجود نتيجتين محتملتين فقط ، فهذا يعني أن احتمال الفشل ثابت (1 - ص ).

ال صعشر النجاح يجب أن يحدث ل سعشر والمحاكمة النهائية. السابق س - 1 محاكمات يجب أن تحتوي بالضبط ص - 1 نجاحات. يتم إعطاء عدد الطرق التي يمكن أن يحدث هذا من خلال عدد المجموعات:

ج (س - 1, ص -1) = (x - 1)! / [(r - 1)! (س - ص)!].

بالإضافة إلى ذلك ، لدينا أحداث مستقلة ، وبالتالي يمكننا مضاعفة احتمالاتنا معًا. بوضع كل هذا معًا ، نحصل على دالة الكتلة الاحتمالية

F(س) = C (س - 1, ص -1) ص^ص(1 - ص)^{س - ص}.

نحن الآن في وضع يسمح لنا بفهم سبب توزيع هذا المتغير العشوائي ذي الحدين السلبي. يمكن كتابة عدد المجموعات التي واجهناها أعلاه بشكل مختلف من خلال الإعداد س - ص = ك:

(x - 1)! / [(r - 1)! (س - ص)!] = (س + ك - 1)! / [(ص - 1)! ك!] = (ص + ك - 1)(س + ك - 2)... (ص + 1) (ص) /ك! = (-1)^ك(- ص) (- ص - 1).. (- r - (k + 1) / k !.

هنا نرى ظهور معامل ذي الحدين السالب ، والذي يتم استخدامه عندما نرفع تعبير ذي الحدين (أ + ب) إلى قوة سالبة.

من المهم معرفة متوسط ​​التوزيع لأنه يمثل إحدى الطرق للدلالة على مركز التوزيع. يتم إعطاء متوسط ​​هذا النوع من المتغير العشوائي من خلال قيمته المتوقعة وهو يساوي ص / ص. يمكننا إثبات ذلك بعناية باستخدام وظيفة توليد اللحظة لهذا التوزيع.

يرشدنا الحدس إلى هذا التعبير أيضًا. لنفترض أننا نجري سلسلة من التجارب ن₁ حتى نحصل عليها ص نجاحات. ثم نقوم بذلك مرة أخرى ، هذه المرة فقط ن₂ المحاكمات. نواصل هذا مرارا وتكرارا ، حتى يكون لدينا عدد كبير من مجموعات المحاكمات ن = ن₁ + ن₂ +... +ن_ك.

كل من هذه ك تحتوي المحاكمات ص النجاحات ، وبالتالي لدينا ما مجموعه كرونة نجاحات. إذا ن كبير ، ثم نتوقع أن نرى عنه Np نجاحات. وهكذا نساوي هذه معا ولدينا kr = Np.

نقوم ببعض الجبر ونجد ذلك N / k = r / p. الكسر الموجود على الجانب الأيسر من هذه المعادلة هو متوسط ​​عدد التجارب المطلوبة لكل اختبار ك مجموعات من المحاكمات. بمعنى آخر ، هذا هو العدد المتوقع من المرات لإجراء التجربة بحيث يكون لدينا إجمالي ص نجاحات. هذا هو بالضبط ما نتوقعه. نرى أن هذا يساوي الصيغة ص / ص.

يمكن أيضًا حساب تباين التوزيع السلبي ذي الحدين باستخدام دالة توليد العزم. عندما نقوم بذلك ، نرى تباين هذا التوزيع معطىًا من الصيغة التالية:

ص (1 - ص)/ص²

إن وظيفة توليد اللحظات لهذا النوع من المتغيرات العشوائية معقدة للغاية. تذكر أن دالة التوليد لحظة تعرف بأنها القيمة المتوقعة E [e^TX]. باستخدام هذا التعريف مع دالة الكتلة الاحتمالية لدينا:

م (ر) = E [e^TX] = Σ (x - 1)! / [(r - 1)! (س - ص)!] هـ^TXص^ص(1 - ص)^{س - ص}

بعد بعض الجبر يصبح M (t) = (pe^ر)^ص[1- (1- ص) هـ^ر]^-ر

لقد رأينا أعلاه كيف يتشابه التوزيع ذو الحدين السلبي في نواح كثيرة مع التوزيع ذي الحدين. بالإضافة إلى هذا الاتصال ، فإن التوزيع ذي الحدين السلبي هو إصدار أكثر عمومية للتوزيع الهندسي.

متغير عشوائي هندسي X تحسب عدد التجارب اللازمة قبل حدوث النجاح الأول. من السهل أن نرى أن هذا هو التوزيع السلبي ذي الحدين بالضبط ، ولكن مع ص يساوي واحد.

توجد تركيبات أخرى للتوزيع السلبي ذي الحدين. تحدد بعض الكتب X أن يكون عدد المحاكمات حتى ص تحدث حالات الفشل.

سنلقي نظرة على مشكلة مثال لمعرفة كيفية العمل مع التوزيع السلبي ذي الحدين. لنفترض أن لاعب كرة السلة مطلق النار مجانًا بنسبة 80٪. علاوة على ذلك ، افترض أن صنع رمية حرة مستقل عن صنع الرمية التالية. ما هو احتمالية أن تكون السلة الثامنة لهذا اللاعب في الرمية الحرة العاشرة؟

نرى أن لدينا إعدادًا لتوزيع ذي حدين سلبي. احتمال النجاح الثابت هو 0.8 ، وبالتالي فإن احتمال الفشل هو 0.2. نريد تحديد احتمال X = 10 عندما يكون r = 8.

نقوم بتوصيل هذه القيم في دالة الكتلة الاحتمالية:

و (10) = ج (10 -1 ، 8 - 1) (0.8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)²أي حوالي 24٪.

يمكننا بعد ذلك أن نسأل ما هو متوسط ​​عدد الرميات الحرة التي تم إطلاقها قبل أن يصنع هذا اللاعب ثمانية منها. نظرًا لأن القيمة المتوقعة هي 8 / 0.8 = 10 ، فهذا هو عدد اللقطات.