الحد الأقصى ونقاط انعطاف توزيع مربع كاي

الإحصائيات الرياضية يستخدم تقنيات من مختلف فروع الرياضيات ليثبت بشكل قاطع أن البيانات المتعلقة بالإحصاءات صحيحة. سنرى كيفية استخدام حساب التفاضل والتكامل لتحديد القيم المذكورة أعلاه لكل من الحد الأقصى لقيمة توزيع مربع كاي ، الذي يتوافق مع وضعه ، وكذلك العثور على نقاط انعطاف لل توزيع.

قبل القيام بذلك ، سوف نناقش ميزات الحد الأقصى ونقاط الانعطاف بشكل عام. سندرس أيضًا طريقة لحساب الحد الأقصى لنقاط الانعطاف.

بالنسبة إلى مجموعة منفصلة من البيانات ، يكون الوضع هو القيمة الأكثر تكرارًا. في الرسم البياني للبيانات ، سيتم تمثيل هذا بأعلى شريط. بمجرد أن نعرف أعلى شريط ، ننظر إلى قيمة البيانات التي تتوافق مع الأساس لهذا الشريط. هذا هو الوضع لمجموعة بياناتنا.

يتم استخدام نفس الفكرة في العمل مع التوزيع المستمر. هذه المرة للعثور على الوضع ، نبحث عن أعلى قمة في التوزيع. للحصول على رسم بياني لهذا التوزيع ، يكون ارتفاع القمة قيمة y. تسمى قيمة y هذه بالحد الأقصى للرسم البياني لأن القيمة أكبر من أي قيمة y أخرى. الوضع هو القيمة على طول المحور الأفقي الذي يتوافق مع الحد الأقصى لقيمة ص.

على الرغم من أنه يمكننا ببساطة إلقاء نظرة على رسم بياني لتوزيع للعثور على الوضع ، إلا أن هناك بعض المشكلات في هذه الطريقة. إن دقتنا جيدة فقط مثل الرسم البياني الخاص بنا ، ومن المحتمل أن نضطر إلى التقدير. أيضا ، قد تكون هناك صعوبات في رسم وظيفتنا.

طريقة بديلة لا تتطلب رسمًا بيانيًا هي استخدام حساب التفاضل والتكامل. الطريقة التي سنستخدمها هي كما يلي:

1. ابدأ بدالة كثافة الاحتمال F (س) لتوزيعنا.
2. احسب الأول والثاني المشتقات من هذه الوظيفة: F '(س) و F ''(س)
3. ضع المشتق الأول يساوي صفر F '(س) = 0.
4. حل من أجل س.
5. قم بتوصيل القيمة (القيم) من الخطوة السابقة بالمشتقة الثانية وقم بالتقييم. إذا كانت النتيجة سلبية ، فلدينا حد أقصى محلي بقيمة x.
6. تقييم وظيفتنا f (س) في جميع النقاط س من الخطوة السابقة.
7. تقييم دالة كثافة الاحتمال على أي نقاط نهاية لدعمها. لذا ، إذا كان للدالة مجال معين بفاصل مغلق [a ، b] ، فقم بتقييم الوظيفة عند نقاط النهاية أ و ب.
8. ستكون أكبر قيمة في الخطوتين 6 و 7 هي الحد الأقصى المطلق للدالة. قيمة x حيث يحدث هذا الحد الأقصى هو وضع التوزيع.

ننتقل الآن إلى الخطوات المذكورة أعلاه لحساب وضع توزيع مربع كاي مع ص درجات الحرية. نبدأ بوظيفة كثافة الاحتمال F(س) المعروض في الصورة في هذه المقالة.

F (خ) = ك س^{ص / 2-1}ه^{-x / 2}

هنا ك هو ثابت ينطوي على دالة جاما وقوة 2. لسنا بحاجة إلى معرفة التفاصيل (ومع ذلك يمكننا الرجوع إلى الصيغة في الصورة لهذه).

يتم الحصول على المشتق الأول لهذه الدالة باستخدام سيادة المنتج وكذلك ال قاعدة السلسلة:

F '( س ) = ك (ص / 2 - 1)س^{ص / 2-2}ه^{-x / 2} - (ك / 2) س^{ص / 2-1}ه^{-x / 2}

وضعنا هذا المشتق يساوي الصفر ، وعامل التعبير على الجانب الأيمن:

0 = ك ×^{ص / 2-1}ه^{-x / 2} [(ص / 2 - 1)س^-1- 1/2]

منذ الثابت ك، ال دالة أسية و س^{ص / 2-1} كلها غير صفرية ، يمكننا تقسيم طرفي المعادلة بهذه التعبيرات. ثم لدينا:

0 = (ص / 2-1)س^-1- 1/2

اضرب طرفي المعادلة ب 2:

0 = (ص - 2)س^-1- 1

هكذا 1 = (ص - 2)س^-1ونختتم بأن لدينا س = ص - 2. هذه هي النقطة على طول المحور الأفقي حيث يحدث الوضع. يشير إلى س قيمة ذروة توزيع خي مربع لدينا.

ميزة أخرى للمنحنى تتعامل مع الطريقة التي ينحني بها. يمكن أن تكون أجزاء من المنحنى مقعرة ، مثل الحالة العلوية U. يمكن أيضًا أن تكون المنحنيات مقعرة إلى الأسفل ، وشكلها مثل تداخل الرمز ∩. حيث يتغير المنحنى من مقعر إلى مقعر ، أو العكس ، لدينا نقطة انعطاف.

يكتشف المشتق الثاني للدالة تقعر الرسم البياني للدالة. إذا كان المشتق الثاني موجبًا ، يكون المنحنى مقعرًا. إذا كان المشتق الثاني سالبًا ، يكون المنحنى مقعرًا لأسفل. عندما يكون المشتق الثاني مساويًا للصفر ويغير الرسم البياني للدالة التقعر ، يكون لدينا نقطة انعطاف.

للعثور على نقاط الانعطاف للرسم البياني ، فإننا:

1. احسب المشتق الثاني لوظيفتنا F ''(س).
2. ضع المشتق الثاني يساوي صفر.
3. حل المعادلة من الخطوة السابقة لـ س.

الآن نرى كيفية العمل من خلال الخطوات المذكورة أعلاه لتوزيع خي مربع. نبدأ بالتمييز. من العمل أعلاه ، رأينا أن المشتق الأول لوظيفتنا هو:

F '(س) = ك (ص / 2 - 1) س^{ص / 2-2}ه^{-x / 2} - (ك / 2) س^{ص / 2-1}ه^{-x / 2}

نحن نفرق مرة أخرى ، باستخدام قاعدة المنتج مرتين. نملك:

F ''( س ) = ك (ص / 2 - 1) (ص / 2 - 2)س^{ص / 2-3}ه^{-x / 2} - (ك / 2) (ص / 2 - 1)س^{ص / 2-2}ه^{-x / 2} + (ك / 4) س^{ص / 2-1}ه^{-x / 2} - (ك / 2) (ص / 2 - 1) س^{ص / 2-2}ه^{-x / 2}

وضعنا هذا يساوي الصفر ونقسم كلا الجانبين على كه^{-x / 2}

0= (ص / 2 - 1) (ص / 2 - 2)س^{ص / 2-3}- (1/2) (ص / 2-1)س^{ص / 2-2}+ (1/ 4) س^{ص / 2-1}- (1/ 2)(ص/2 - 1) س^{ص / 2-2}

من خلال الجمع بين المصطلحات مثل لدينا:

(ص / 2 - 1) (ص / 2 - 2)س^{ص / 2-3}- (ص / 2-1)س^{ص / 2-2}+ (1/ 4) س^{ص / 2-1}

اضرب كلا الجانبين في 4س^{3 - ص / 2}هذا يعطينا:

0 = (ص - 2) (ص - 4) - (ص ص - 4)س+ س^2.

يمكن الآن استخدام الصيغة التربيعية لحلها س.

س = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (ص - 2) (ص - 4)]^1/2]/2

نقوم بتوسيع المصطلحات التي يتم أخذها إلى قوة 1/2 ونرى ما يلي:

(4 ص² -16 ص + 16) - 4 (ص² -6 ص + 8) = 8 ص - 16 = 4 (ص ص - 4)

هذا يعني ذاك:

س = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

من هذا نرى أن هناك نقطتي انعطاف. علاوة على ذلك ، هذه النقاط متناظرة حول طريقة التوزيع حيث (r - 2) تقع في منتصف الطريق بين نقطتي الانعطاف.

نرى كيف ترتبط كلتا هاتين الميزتين بعدد درجات الحرية. يمكننا استخدام هذه المعلومات للمساعدة في رسم توزيع مربع كاي. يمكننا أيضًا مقارنة هذا التوزيع مع الآخرين ، مثل التوزيع الطبيعي. يمكننا أن نرى أن نقاط الانعطاف لتوزيع خي مربع تحدث في أماكن مختلفة عن نقاط انعطاف للتوزيع الطبيعي.