ما هو انحراف التوزيع الأسي؟

مشترك المعلمات إلى عن على توزيع الاحتمالات تشمل المتوسط ​​والانحراف المعياري. يعطي المتوسط ​​قياسًا للمركز ويظهر الانحراف المعياري مدى انتشار التوزيع. بالإضافة إلى هذه المعلمات المعروفة ، هناك غيرها تجذب الانتباه إلى ميزات أخرى غير الحيز أو المركز. واحد مثل هذا القياس هو انحراف. يمنح الانحراف طريقة لإرفاق قيمة رقمية بعدم تناسق التوزيع.

التوزيع المهم الذي سنفحصه هو التوزيع الأسي. سنرى كيف نثبت أن انحراف التوزيع الأسي هو 2.

نبدأ بتحديد دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الأسي. كل من هذه التوزيعات لها معلمة مرتبطة بالمعلمة من ذات الصلة عملية بواسون. نشير إلى هذا التوزيع كـ Exp (A) ، حيث A هي المعلمة. دالة كثافة الاحتمال لهذا التوزيع هي:

F(س) = ه^-س/أ/ A ، أين س غير سالب.

هنا ه هي الرياضيات ثابت ه أي حوالي 2.718281828. يرتبط المتوسط ​​والانحراف المعياري للتوزيع الأسي Exp (A) بالمعلمة A. في الواقع ، المتوسط ​​والانحراف المعياري كلاهما يساوي A.

يتم تعريف الانحراف بواسطة تعبير مرتبط باللحظة الثالثة حول المتوسط. هذا التعبير هو القيمة المتوقعة:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

نستبدل μ و σ بـ A ، والنتيجة هي انحراف E [X³] / أ³ – 4.

كل ما تبقى هو حساب الثالث لحظة عن الأصل. لهذا نحن بحاجة إلى دمج ما يلي:

∫^∞₀س³F(س) دس.

هذا التكامل لا متناهي لأحد حدوده. وبالتالي يمكن تقييمه على أنه جزء لا يتجزأ من النوع الأول. يجب علينا أيضًا تحديد تقنية التكامل التي نستخدمها. بما أن وظيفة التكامل هي نتاج دالة كثيرة الحدود وأسية ، سنحتاج إلى استخدامها تكامل اجزاء. يتم تطبيق تقنية التكامل هذه عدة مرات. والنتيجة النهائية هي:

E [X³] = 6 أ³

ثم نقوم بدمج هذا مع معادلتنا السابقة للانحراف. نرى أن الانحراف 6 - 4 = 2.

من المهم ملاحظة أن النتيجة مستقلة عن التوزيع الأسي المحدد الذي نبدأ به. لا يعتمد انحراف التوزيع الأسي على قيمة المعلمة A.

علاوة على ذلك ، نرى أن النتيجة هي انحراف إيجابي. هذا يعني أن التوزيع منحرف إلى اليمين. لا ينبغي أن يكون هذا مفاجئًا لأننا نفكر في شكل الرسم البياني لدالة كثافة الاحتمال. كل هذه التوزيعات لها تقاطع مع y كـ 1 // theta والذيل الذي يذهب إلى أقصى يمين الرسم البياني ، والذي يتوافق مع القيم العالية للمتغير س.

بالطبع ، يجب أن نذكر أيضًا أن هناك طريقة أخرى لحساب الانحراف. يمكننا الاستفادة من وظيفة توليد اللحظة للتوزيع الأسي. المشتق الأول من وظيفة توليد اللحظة بتقييم عند 0 يعطينا E [X]. وبالمثل ، فإن المشتق الثالث لدالة توليد العزم عند تقييمه عند 0 يعطينا E (X³].