مثال على فاصل الثقة للاختلاف

يعطي التباين السكاني مؤشراً على كيفية نشر مجموعة البيانات. لسوء الحظ ، من المستحيل عادةً معرفة ماهية معلمة السكان هذه بالضبط. للتعويض عن نقص معرفتنا ، نستخدم موضوعًا من إحصائيات استدلالية تسمى فترات الثقة. سنرى مثالاً لكيفية حساب فاصل الثقة لتنوع السكان.

صيغة (1 - α) فاصل الثقة حول التباين السكاني. يتم تقديمه من خلال سلسلة عدم المساواة التالية:

[ (ن - 1)س²] / ب < σ² < [ (ن - 1)س²] / أ.

هنا ن هو حجم العينة ، س² هو تباين العينة. الرقم أ هي نقطة توزيع مربع كاي مع ن -1 درجات من الحرية يكون عندها بالضبط α / 2 للمنطقة تحت المنحنى على يسار أ. بطريقة مماثلة ، الرقم ب هي نقطة توزيع مربع كاي نفسه مع α / 2 بالضبط للمنطقة تحت المنحنى إلى يمين ب.

نبدأ بمجموعة بيانات مع 10 قيم. تم الحصول على هذه المجموعة من قيم البيانات من خلال عينة عشوائية بسيطة:

97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102

قد تكون هناك حاجة إلى بعض تحليل البيانات الاستكشافية لإظهار أنه لا توجد قيم غريبة. عن طريق بناء الجذعية ورقة مؤامرة نرى أن هذه البيانات على الأرجح من توزيع يتم توزيعه بشكل طبيعي تقريبًا. هذا يعني أنه يمكننا المضي قدمًا في العثور على فاصل ثقة 95٪ لتفاوت السكان.

نحن بحاجة إلى تقدير التباين السكاني مع تباين العينة ، المشار إليه بـ س². لذا نبدأ بحساب هذه الإحصائية. اساسا نحن متوسط مجموع الانحرافات المربعة من المتوسط. ومع ذلك ، بدلاً من تقسيم هذا المبلغ على ن نقسمها على ن - 1.

نجد أن متوسط ​​العينة هو 104.2. باستخدام هذا ، لدينا مجموع انحرافاتها المربعة من الوسط المعطى بواسطة:

(97 – 104.2)² + (75 – 104.3)² +... + (96 – 104.2)² + (102 – 104.2)² = 2495.6

نقسم هذا المبلغ على 10 - 1 = 9 للحصول على تباين عينة يبلغ 277.

ننتقل الآن إلى توزيع خي مربع. نظرًا لأن لدينا 10 قيم بيانات ، لدينا 9 درجات الحرية. نظرًا لأننا نريد 95٪ من توزيعنا الأوسط ، فإننا نحتاج إلى 2.5٪ في كل ذيول. نستشير طاولة أو برنامج chi-square ونرى أن قيم الجدول 2.7004 و 19.023 تشمل 95٪ من مساحة التوزيع. هذه الأرقام أ و بعلى التوالي.

لدينا الآن كل ما نحتاجه ، ونحن على استعداد لتجميع فاصل الثقة. صيغة نقطة النهاية اليسرى هي [(ن - 1)س²] / ب. هذا يعني أن نقطة النهاية اليسرى لدينا هي:

(9 × 277) /19.023 = 133

تم العثور على نقطة النهاية الصحيحة عن طريق الاستبدال ب مع أ:

(9 × 277) /2.7004 = 923

لذلك نحن واثقون بنسبة 95٪ من أن التباين السكاني يقع بين 133 و 923.

بالطبع ، بما أن الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين ، يمكن استخدام هذه الطريقة لبناء فاصل ثقة للانحراف المعياري السكاني. كل ما نحتاجه هو أخذ جذور تربيعية لنقاط النهاية. ستكون النتيجة فاصل ثقة 95٪ لـ الانحراف المعياري.