استخدام وظائف Quasiconcave المساعدة في الاقتصاد

"Quasiconcave" هو مفهوم رياضي له العديد من التطبيقات في الاقتصاد. لفهم أهمية تطبيقات المصطلح في الاقتصاد ، من المفيد أن نبدأ بنظر موجز لأصول المصطلح ومعناه في الرياضيات.

تم تقديم مصطلح "quasiconcave" في الجزء الأول من القرن العشرين في أعمال جون فون نيومان و Werner Fenchel و Bruno de Finetti ، وكلها بارزة علماء الرياضيات الذين لديهم اهتمامات في كل من الرياضيات النظرية والتطبيقية ، وأبحاثهم في مجالات مثل نظرية الاحتمالات ، ونظرية اللعبة والطبولوجيا في نهاية المطاف وضع الأساس لحقل بحث مستقل يعرف باسم "التحدب المعمم". في حين أن مصطلح "quasiconcave: له تطبيقات في العديد من المجالات ، بما فيها اقتصاديات، ينشأ في مجال التحدب المعمم كمفهوم طوبولوجي.

يبدأ شرح أستاذ واين ستيت للرياضيات روبرت برونر المختصر والمقروء للطبولوجيا بفهم أن الطوبولوجيا شكل خاص من أشكال علم الهندسة. ما يميز الطوبولوجيا عن الدراسات الهندسية الأخرى هو أن الطوبولوجيا تعامل الأشكال الهندسية على أنها بشكل أساسي ("طوبولوجيًا") إذا كان يمكنك ثنيها أو ثنيها أو تشويهها بطريقة أخرى الأخرى.

يبدو هذا غريبًا بعض الشيء ، ولكن ضع في اعتبارك أنه إذا أخذت دائرة وبدأت في السحق من أربعة اتجاهات ، مع الضغط الدقيق يمكنك إنتاج مربع. وبالتالي ، فإن المربع والدائرة متكافئين طوبولوجيا. وبالمثل ، إذا قمت بثني جانب واحد من المثلث حتى تنشئ زاوية أخرى في مكان ما على طول هذا الجانب ، مع المزيد من الانحناء والدفع والسحب ، يمكنك تحويل المثلث إلى مربع. مرة أخرى ، المثلث والمربع متكافئين طوبولوجيا.

Quasiconcave هي خاصية طوبوغرافية تتضمن التقعر. إذا قمت بعمل رسم بياني لوظيفة رياضية وكان الرسم البياني يبدو إلى حد ما مثل وعاء مصنوع بشكل سيئ مع بعض المطبات في ذلك ، ولكن لا يزال هناك انخفاض في المركز ونهايتين تميل إلى أعلى ، وهي وظيفة كهف شبه الكهف.

اتضح أن الدالة المقعرة هي مجرد مثال محدد لوظيفة quasiconcave - واحدة بدون نتوءات. من منظور الشخص العادي (لدى عالم الرياضيات طريقة أكثر صرامة للتعبير عنها) ، وظيفة كهف شبه الكهف يشمل جميع الدوال المقعرة وأيضاً الدوال المقعرة عموماً ولكن قد تحتوي على أقسام موجودة بالفعل محدب. مرة أخرى ، تصور وعاءً سيئًا مع بعض النتوءات والنتوءات فيه.

إحدى الطرق لتمثيل تفضيلات المستهلك رياضياً (بالإضافة إلى العديد من السلوكيات الأخرى) هي مع دالة المنفعة. إذا ، على سبيل المثال ، يفضل المستهلكون الخير أ على الخير ب ، فإن وظيفة الأداة المساعدة يو تعبر عن هذا التفضيل على النحو التالي:

U (أ)> U (B)

إذا قمت برسم هذه الوظيفة لمجموعة من المستهلكين والبضائع في العالم الحقيقي ، فقد تجد أن الرسم البياني يبدو كأنه وعاء - بدلاً من خط مستقيم ، فهناك ترهل في المنتصف. يمثل هذا الترهل عمومًا نفور المستهلكين من المخاطر. مرة أخرى ، في العالم الحقيقي ، هذا النفور ليس متسقًا: الرسم البياني لتفضيلات المستهلك يبدو قليلاً مثل وعاء غير كامل ، واحد به عدد من المطبات فيه. بدلاً من كونها مقعرة ، فهي عمومًا مقعرة ولكنها ليست كذلك تمامًا في كل نقطة في الرسم البياني ، والتي قد تحتوي على أقسام ثانوية من التحدب.

وبعبارة أخرى ، فإن الرسم البياني المثال لتفضيلات المستهلك (مثل الكثير من الأمثلة الواقعية) هو كهف شبه رقمي. يخبرون أي شخص يرغب في معرفة المزيد عن سلوك المستهلك - الاقتصاديون والشركات التي تبيع السلع الاستهلاكية ، على سبيل المثال - أين وكيف يستجيب العملاء للتغيرات في الكميات أو التكلفة الجيدة.