حل المعادلات: النمو الأسي

تحكي الدالات الأسية قصص التغيير المتفجر. نوعان من الدالات الأسية هي النمو الأسي و تسوس الأسي. أربعة متغيرات - التغيير في المئةوالوقت والمبلغ في بداية الفترة الزمنية والمبلغ في نهاية الفترة الزمنية - يلعبون أدوارًا في الدوال الأسية. تركز هذه المقالة على كيفية استخدام مشاكل الكلمات للعثور على المبلغ في بداية الفترة الزمنية ، أ.

النمو الأسي: التغيير الذي يحدث عندما يتم زيادة مبلغ أصلي بمعدل ثابت على مدى فترة من الزمن

استخدامات النمو الأسي في الحياة الحقيقية:

• قيم أسعار المساكن
• قيم الاستثمارات
• زيادة العضوية في موقع التواصل الاجتماعي الشهير

إليك دالة نمو أسي:

ذ = أ(1 + ب)^س

• ذ: المبلغ النهائي المتبقي على مدى فترة من الزمن
• أ: المبلغ الأصلي
• س: زمن
• ال عامل النمو هو (1 + ب).
• المتغير، ب، هو النسبة المئوية للتغير في الشكل العشري.

إذا كنت تقرأ هذه المقالة ، فأنت على الأرجح طموح. ست سنوات من الآن ، ربما ترغب في الحصول على درجة جامعية في جامعة دريم. بسعر 120000 دولار ، تستحضر جامعة الأحلام رعب الليلة المالية. بعد ليالٍ بلا نوم ، تلتقي أنت وأمي وأبي بمخطط مالي. تتضح أعين والديك النقطتين عندما يكشف المخطط عن استثمار بمعدل نمو 8٪ يمكن أن يساعد عائلتك في الوصول إلى هدف 120،000 دولار. أدرس بجد. إذا استثمرت أنت ووالديك اليوم 75،620.36 دولارًا ، فستصبح جامعة دريم واقعك.

تصف هذه الوظيفة النمو الأسي للاستثمار:

120,000 = أ(1 +.08)⁶

• 120،000: المبلغ النهائي المتبقي بعد 6 سنوات
• .08: معدل النمو السنوي
• 6: عدد سنوات نمو الاستثمار
• ج: المبلغ الأولي الذي استثمرته عائلتك

ملحوظة: بفضل الملكية المتساوية للمساواة 120،000 = أ(1 +.08)⁶ بالضبط مثل أ(1 +.08)⁶ = 120,000. (الخاصية المتساوية للمساواة: إذا كانت 10 + 5 = 15 ، فإن 15 = 10 +5.)

إذا كنت تفضل إعادة كتابة المعادلة بالثابت ، 120،000 ، على يمين المعادلة ، فافعل ذلك.

أ(1 +.08)⁶ = 120,000

صحيح أن المعادلة لا تبدو كمعادلة خطية (6أ = 120،000 دولار) ، لكنها قابلة للحل. استمر في ذلك!

أ(1 +.08)⁶ = 120,000

كن حذرا: لا تحل هذه المعادلة الأسية بقسمة 120،000 على 6. إنها حسابات مغرية لا لا.

1. استعمال ترتيب العمليات للتبسيط.

أ(1 +.08)⁶ = 120,000
أ(1.08)⁶ = 120،000 (قوس)
أ(1.586874323) = 120،000 (الأس)

2. حل بالقسمة

أ(1.586874323) = 120,000
أ(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1أ = 75,620.35523
أ = 75,620.35523

المبلغ الأصلي للاستثمار هو حوالي 75620.36 دولار.

3. تجميد - لم تنته بعد. استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.

120,000 = أ(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (أقواس)
120،000 = 75،620.35523 (1.586874323) (الأس)
120،000 = 120،000 (الضرب)

ورقة عمل أصلية

مزارع وأصدقاء
استخدم المعلومات حول موقع الشبكات الاجتماعية للمزارع للإجابة على الأسئلة 1-5.

بدأ أحد المزارعين موقعًا للتواصل الاجتماعي ، Farmerandfriends.org ، والذي يشارك نصائح الحدائق في الفناء الخلفي. عندما مكّن موقع Farmerandfriends.org الأعضاء من نشر الصور ومقاطع الفيديو ، ازدادت عضوية الموقع بشكل كبير. إليك دالة تصف هذا النمو المتسارع.

120,000 = أ(1 + .40)⁶

1. كم عدد الأشخاص الذين ينتمون إلى farmerandfriends.org بعد 6 أشهر من تمكين مشاركة الصور ومشاركة الفيديو؟ 120.000 شخص
   قارن هذه الوظيفة بوظيفة النمو الأسي الأصلية:
   120,000 = أ(1 + .40)⁶
   ذ = أ(1 +ب)^س
   المبلغ الأصلي ، ذ، هو 120،000 في هذه الوظيفة حول الشبكات الاجتماعية.
2. هل تمثل هذه الوظيفة نمو أسي أو انحطاط؟ تمثل هذه الوظيفة النمو الأسي لسببين. السبب 1: تكشف فقرة المعلومات أن "عضوية الموقع زادت بشكل كبير." السبب 2: العلامة الإيجابية موجودة من قبل ب، النسبة المئوية للتغير الشهري.
3. ما هي الزيادة أو النقصان في المئة الشهرية؟ الزيادة الشهرية في المئة هي 40 ٪ ، .40 مكتوبة كنسبة مئوية.
4. كم عدد الأعضاء الذين كانوا ينتمون إلى farmerandfriends.org قبل 6 أشهر ، مباشرة قبل تقديم مشاركة الصور ومشاركة الفيديو؟ حوالي 15،937 عضوا
   استخدم ترتيب العمليات لتبسيط.
   120,000 = أ(1.40)⁶
   120,000 = أ(7.529536)
   قسّم للحل.
   120,000/7.529536 = أ(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1أ
   15,937.23704 = أ
   استخدم ترتيب العمليات للتحقق من إجابتك.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. إذا استمرت هذه الاتجاهات ، فكم عدد الأعضاء الذين سينتميون إلى الموقع بعد 12 شهرًا من إدخال مشاركة الصور ومشاركة الفيديو؟ حوالي 903544 عضوا
   قم بتوصيل ما تعرفه عن الوظيفة. تذكر ، هذه المرة لديك أالمبلغ الأصلي. أنت تحل من أجله ذ، المبلغ المتبقي في نهاية فترة زمنية.
   ذ = أ(1 + .40)^س
   ذ = 15,937.23704(1+.40)¹²
   استخدم ترتيب العمليات للعثور ذ.
   ذ = 15,937.23704(1.40)¹²
   ذ = 15,937.23704(56.69391238)
   ذ = 903,544.3203