طريقة واحدة لحساب متوسط وتباين توزيع الاحتمالات هو العثور على القيم المتوقعة من المتغيرات العشوائية X و X2. نستخدم الترميز هـ(X) و هـ(X2) للدلالة على هذه القيم المتوقعة. بشكل عام ، من الصعب الحساب هـ(X) و هـ(X2) مباشرة. للتغلب على هذه الصعوبة ، نستخدم بعض النظريات والحسابات الرياضية الأكثر تقدمًا. النتيجة النهائية هي شيء يجعل حساباتنا أسهل.
استراتيجية هذه المشكلة هي تحديد وظيفة جديدة ، لمتغير جديد ر ما يسمى بوظيفة توليد اللحظة. تتيح لنا هذه الوظيفة حساب اللحظات ببساطة عن طريق أخذ المشتقات.
الافتراضات
قبل أن نحدد وظيفة توليد اللحظة ، نبدأ بإعداد المسرح مع الترميز والتعريفات. نحن نسمح X يكون المتغير العشوائي المنفصل. هذا المتغير العشوائي له دالة الكتلة الاحتمالية F(س). سيتم الإشارة إلى مساحة العينة التي نعمل معها س.
بدلاً من حساب القيمة المتوقعة لـ X، نريد حساب القيمة المتوقعة لدالة أسية مرتبطة بـ X. إذا كان هناك إيجابي عدد حقيقيص مثل ذلك هـ(هTX) موجود ومحدود للجميع ر في الفاصل الزمني [-ص, ص] ، ثم يمكننا تحديد وظيفة توليد لحظة X.
تعريف
الدالة المولدة للحظة هي القيمة المتوقعة للدالة الأسية أعلاه. وبعبارة أخرى ، نقول أن وظيفة توليد لحظة X اعطي من قبل:
م(ر) = هـ(هTX)
هذه القيمة المتوقعة هي الصيغة Σ هتكساسF (س) ، حيث يتم أخذ الجمع على الجميع س في ال فضاء العينةس. يمكن أن يكون هذا مبلغًا محدودًا أو لا نهائيًا ، اعتمادًا على مساحة العينة المستخدمة.
الخصائص
تحتوي وظيفة توليد اللحظة على العديد من الميزات التي ترتبط بمواضيع أخرى في الاحتمالات والإحصاءات الرياضية. تشمل بعض أهم ميزاته ما يلي:
- معامل هالسل هو احتمال ذلك X = ب.
- تمتلك وظائف توليد اللحظات خاصية تفرد. إذا كانت اللحظة التي تولد فيها الدالات لمتغيرين عشوائيين تتطابق مع بعضها البعض ، فيجب أن تكون دالات الكتلة الاحتمالية هي نفسها. بمعنى آخر ، تصف المتغيرات العشوائية نفس التوزيع الاحتمالي.
- يمكن استخدام وظائف توليد اللحظات لحساب لحظات X.
حساب اللحظات
يوضح العنصر الأخير في القائمة أعلاه اسم وظائف إنشاء اللحظات وفائدتها أيضًا. تقول بعض الرياضيات المتقدمة أنه في ظل الظروف التي وضعناها ، مشتق أي ترتيب للدالة م (ر) موجود عندما ر = 0. علاوة على ذلك ، في هذه الحالة ، يمكننا تغيير ترتيب الجمع والتمايز فيما يتعلق ر للحصول على الصيغ التالية (جميع الملخصات فوق قيم س في مساحة العينة س):
- م’(ر) = Σ XEتكساسF (س)
- م’’(ر) = Σ س2هتكساسF (س)
- م’’’(ر) = Σ س3هتكساسF (س)
- م(ن)’(ر) = Σ سنهتكساسF (س)
إذا وضعنا ر = 0 في الصيغ أعلاه ، ثم هتكساس يصبح مصطلح ه0 = 1. وهكذا نحصل على صيغ لحظات المتغير العشوائي X:
- م’(0) = هـ(X)
- م’’(0) = هـ(X2)
- م’’’(0) = هـ(X3)
- م(ن)(0) = هـ(Xن)
هذا يعني أنه إذا كانت وظيفة توليد العزم موجودة لمتغير عشوائي معين ، فيمكننا أن نجد متوسطها وتباينها من حيث مشتقات دالة توليد العزم. المعنى م"(0) ، والفرق هو م’’(0) – [م’(0)]2.
ملخص
باختصار ، كان علينا أن ندخل في بعض الرياضيات عالية القوة ، لذلك تم غمس بعض الأشياء. على الرغم من أنه يجب علينا استخدام حساب التفاضل والتكامل لما سبق ، في النهاية ، فإن عملنا الرياضي عادة ما يكون أسهل من حساب اللحظات مباشرة من التعريف.