احتمالية وجود مستقيمة صغيرة في يهتز في لفة واحدة

Yahtzee هي لعبة نرد تستخدم خمسة أزهر قياسية من ستة جوانب. في كل دور ، يتم إعطاء اللاعبين ثلاثة فات للحصول على عدة أهداف مختلفة. بعد كل لفة ، يمكن للاعب تحديد النرد (إن وجد) الذي سيتم الاحتفاظ به وأيها سيتم تحويله. تتضمن الأهداف مجموعة متنوعة من الأنواع المختلفة من المجموعات ، والتي يتم أخذ العديد منها من لعبة البوكر. كل نوع مختلف من التوليفات يساوي كمية مختلفة من النقاط.

يتم استدعاء نوعين من المجموعات التي يجب على اللاعبين تدحرجها مستقيمة: مستقيم صغير وكبير مستقيم. مثل مضائق البوكر ، تتكون هذه المجموعات من الزهر المتسلسل. الضيقة الصغيرة توظف أربعة من خمسة الزهر و مستقيمات كبيرة استخدام جميع الزهرات الخمس. بسبب العشوائية لدحرجة النرد ، يمكن استخدام الاحتمال لتحليل مدى احتمالية لف لفة صغيرة مستقيمة في لفة واحدة.

نفترض أن النرد المستخدمة عادلة ومستقلة عن بعضها البعض. وبالتالي هناك مساحة عينة موحدة تتكون من جميع القوائم الممكنة للنرد الخمسة. برغم من ياهتزي يسمح بثلاث لفات ، من أجل البساطة ، سنأخذ في الاعتبار فقط الحالة التي نحصل عليها صغيرة مستقيمة في لفة واحدة.

لأننا نعمل مع

من السهل جدًا حساب عدد النتائج في مساحة العينة. نحن ندحرج خمسة نردات ويمكن أن يكون لكل من هذه الزهر واحدة من ست نتائج مختلفة. يخبرنا التطبيق الأساسي لمبدأ الضرب أن مساحة العينة بها 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁵ = 7776 نتيجة. سيكون هذا الرقم مقام الكسور التي نستخدمها لاحتمالنا.

بعد ذلك ، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق التي يمكن من خلالها لف خط مستقيم صغير. هذا أكثر صعوبة من حساب حجم مساحة العينة. نبدأ بحساب عدد المستقيمات الممكنة.

من السهل لف المستقيمة الصغيرة من المستقيمة الكبيرة ، ومع ذلك ، فمن الصعب حساب عدد طرق لف هذا النوع من المستقيم. يتكون مستقيم صغير من أربعة أرقام متسلسلة بالضبط. نظرًا لوجود ستة وجوه مختلفة للموت ، هناك ثلاثة خطوط مستقيمة صغيرة محتملة: {1 ، 2 ، 3 ، 4} ، {2 ، 3 ، 4 ، 5} و {3 ، 4 ، 5 ، 6}. تنشأ الصعوبة في النظر في ما يحدث مع الموت الخامس. في كل من هذه الحالات ، يجب أن يكون القالب الخامس عبارة عن رقم لا يخلق خطًا مستقيمًا كبيرًا. على سبيل المثال ، إذا كانت النردات الأربعة الأولى 1 و 2 و 3 و 4 ، فإن القالب الخامس يمكن أن يكون أي شيء آخر غير 5. إذا كان القالب الخامس هو 5 ، فسيكون لدينا مستقيم كبير بدلاً من مستقيم صغير.

هذا يعني أن هناك خمسة لفات ممكنة تعطي المستقيمة الصغيرة {1 ، 2 ، 3 ، 4} ، خمسة ممكنة اللفات التي تعطي المستقيمة الصغيرة {3 و 4 و 5 و 6} وأربع لفات محتملة تعطي المستقيمة الصغيرة المستقيمة {2 و 3 ، 4, 5}. هذه الحالة الأخيرة مختلفة لأن تدوير 1 أو 6 للموت الخامس سيتغير {2 ، 3 ، 4 ، 5} إلى مستقيمة كبيرة. هذا يعني أن هناك 14 طريقة مختلفة يمكن أن تعطينا فيها خمسة نردات صغيرة مستقيمة.

الآن نحدد عددًا مختلفًا من الطرق لتدوير مجموعة معينة من الزهر التي تعطينا استقامة. نظرًا لأننا نحتاج فقط إلى معرفة عدد الطرق للقيام بذلك ، يمكننا استخدام بعض تقنيات الحساب الأساسية.

من بين 14 طريقة متميزة للحصول على خطوط ضيقة صغيرة ، هناك طريقتان فقط من {1،2،3،4،6} و {1،3،4،5،6} هي مجموعات ذات عناصر متميزة. يوجد 5! = 120 طريقة لف كل منها ليصبح المجموع 2 × 5! = 240 مضيق صغير.

الطرق الأخرى الـ 12 للحصول على مستقيم صغير هي مجموعات متعددة من الناحية الفنية لأنها تحتوي على عنصر متكرر. بالنسبة لمجموعة متعددة محددة ، مثل [1،1،2،3،4] ، سنحسب العدد بطرق مختلفة لطرح هذا. فكر في النرد على أنه خمس وظائف متتالية:

• هناك C (5،2) = 10 طرق لوضع العنصرين المتكررين بين الزهرات الخمسة.
• هناك 3! = 6 طرق لترتيب العناصر الثلاثة المتميزة.

من خلال مبدأ الضرب ، هناك 6 × 10 = 60 طريقة مختلفة لتدوير النرد 1،1،2،3،4 في لفة واحدة.

هناك 60 طريقة لدحرجة واحدة صغيرة على التوالي مع هذا القالب الخامس. نظرًا لوجود 12 مجموعة متعددة تعطي قائمة مختلفة من خمسة زهرات ، فهناك 60 × 12 = 720 طريقة لتدوير مستقيمة صغيرة يتطابق فيها نردان.

في المجموع هناك 2 × 5! + 12 × 60 = 960 طريقة للف خط مستقيم صغير.

الآن احتمال دحرجة صغيرة مستقيمة هو حساب تقسيم بسيط. بما أن هناك 960 طريقة مختلفة لتدوير لفة صغيرة مستقيمة في لفة واحدة وهناك 7776 لفة خمسة النرد ممكن ، احتمال دحرج صغير مستقيم هو 960/7776 ، وهو قريب من 1/8 و 12.3%.

بالطبع ، من المرجح أن اللفة الأولى ليست مستقيمة. إذا كان هذا هو الحال ، فحينئذٍ يُسمح لنا بلفتين إضافيتين ، مما يجعل الاحتمال صغيرًا على التوالي. إن احتمال حدوث ذلك أكثر تعقيدًا لتحديده نظرًا لجميع المواقف المحتملة التي يجب أخذها في الاعتبار.