إحدى الإستراتيجيات في الرياضيات هي البدء ببعض العبارات ، ثم بناء المزيد من الرياضيات من هذه العبارات. تُعرف عبارات البداية بالبديهيات. البديهية هي عادة شيء بديهي رياضيا. من قائمة قصيرة نسبيا من البديهيات ، يتم استخدام المنطق الاستنتاجي لإثبات عبارات أخرى ، تسمى النظريات أو الافتراضات.
مجال الرياضيات المعروف باسم الاحتمال لا يختلف. يمكن تقليل الاحتمال إلى ثلاث بديهيات. تم ذلك أولاً من قبل عالم الرياضيات أندريه كولموجوروف. يمكن استخدام حفنة من البديهيات التي هي احتمالية كامنة لاستنتاج الكل أنواع من النتائج. ولكن ما هي هذه البديهيات الاحتمالية؟
تعاريف وتصفيات
لفهم بديهيات الاحتمال ، يجب علينا أولاً مناقشة بعض التعريفات الأساسية. نفترض أن لدينا مجموعة من النتائج تسمى مساحة العينة س. يمكن اعتبار مساحة العينة هذه كمجموعة عالمية للحالة التي ندرسها. تتكون مساحة العينة من مجموعات فرعية تسمى الأحداث هـ1, هـ2,..., هـن.
نفترض أيضًا أن هناك طريقة لتعيين الاحتمال لأي حدث هـ. يمكن اعتبار هذا كدالة لها مجموعة لإدخال ، و عدد حقيقي كمخرج. احتمالية ال حدثهـ يشار إليه ب ص(هـ).
اكسيوم واحد
البديهية الأولى للاحتمال هي أن احتمال أي حدث هو رقم حقيقي غير سالب. وهذا يعني أن أصغر احتمال يمكن أن يكون على الإطلاق هو صفر وأنه لا يمكن أن يكون لانهائي. مجموعة الأرقام التي قد نستخدمها هي أرقام حقيقية. يشير هذا إلى كل من الأرقام العقلانية ، والمعروفة أيضًا باسم الكسور ، والأرقام غير المنطقية التي لا يمكن كتابتها على أنها كسور.
شيء واحد يجب ملاحظته هو أن هذه البديهية لا تقول شيئًا عن حجم احتمال وقوع الحدث. البديهية تقضي على احتمال الاحتمالات السلبية. وهو يعكس فكرة أن الاحتمال الأصغر ، المخصص للأحداث المستحيلة ، هو صفر.
اكسيوم الثانية
البديهية الثانية للاحتمال هي أن احتمال مساحة العينة بأكملها واحد. نكتب رمزيا ص(س) = 1. ضمنا في هذه البديهية هو الفكرة القائلة بأن مساحة العينة هي كل شيء ممكن لتجربتنا الاحتمالية وأنه لا توجد أحداث خارج مساحة العينة.
في حد ذاته ، لا تضع هذه البديهية حدًا أعلى على احتمالات الأحداث التي ليست مساحة العينة بأكملها. إنه يعكس أن الاحتمال المطلق لشيء ما مع اليقين المطلق.
اكسيوم ثلاثة
تتعامل البديهية الثالثة للاحتمال مع الأحداث الحصرية المتبادلة. إذا هـ1 و هـ2 هم لا يعتمدوا على بعض، بمعنى أن لديهم تقاطعًا فارغًا ونستخدم U للدلالة على الاتحاد ، إذن ص(هـ1 ش هـ2 ) = ص(هـ1) + ص(هـ2).
البديهية تغطي في الواقع الموقف بعدة أحداث (حتى لا حصر لها) ، كل زوج منها حصري. طالما يحدث هذا ، فإن احتمالية الاتحاد من الأحداث هي نفس مجموع الاحتمالات:
ص(هـ1 ش هـ2 يو.. ش هـن ) = ص(هـ1) + ص(هـ2) +... + هـن
على الرغم من أن هذه البديهية الثالثة قد لا تبدو مفيدة إلى هذا الحد ، إلا أننا سنرى أنه مع البديهتين الأخريين ، فهي قوية جدًا بالفعل.
تطبيقات اكسيوم
البديهيات الثلاثة تحدد الحد الأعلى لاحتمال أي حدث. نشير إلى تكملة الحدث هـ بواسطة هـج. من نظرية المجموعات ، هـ و هـج تحتوي على تقاطع فارغ وتكون حصرية بشكل متبادل. علاوة على ذلك هـ ش هـج = س، مساحة العينة بأكملها.
هذه الحقائق ، جنباً إلى جنب مع البديهيات تعطينا:
1 = ص(س) = ص(هـ ش هـج) = ص(هـ) + ص(هـج) .
نعيد ترتيب المعادلة أعلاه ونرى ذلك ص(هـ) = 1 - ص(هـج). نظرًا لأننا نعلم أن الاحتمالات يجب أن تكون غير سالبة ، لدينا الآن أن الحد الأعلى لاحتمال أي حدث هو 1.
من خلال إعادة ترتيب الصيغة لدينا مرة أخرى ص(هـج) = 1 - ص(هـ). يمكننا أيضًا أن نستنتج من هذه الصيغة أن احتمالية عدم وقوع حدث هو ناقص احتمالية حدوثه.
توفر لنا المعادلة السابقة أيضًا طريقة لحساب احتمالية الحدث المستحيل ، والمشار إليها بمجموعة فارغة. لرؤية ذلك ، تذكر أن المجموعة الفارغة هي مكمل للمجموعة العالمية ، في هذه الحالة سج. منذ 1 = ص(س) + ص(سج) = 1 + ص(سج) ، عن طريق الجبر لدينا ص(سج) = 0.
تطبيقات أخرى
ما ورد أعلاه مجرد أمثلة على الخصائص التي يمكن إثباتها مباشرة من البديهيات. هناك العديد من النتائج في الاحتمال. لكن كل هذه النظريات هي امتدادات منطقية من البديهيات الثلاثة للاحتمال.