ما هو تقاطع مجموعتين؟

عند التعامل معها نظرية المجموعات، هناك عدد من العمليات لإنشاء مجموعات جديدة من القديمة. تسمى واحدة من أكثر عمليات المجموعة شيوعًا التقاطع. ببساطة ، تقاطع مجموعتين أ و ب هي مجموعة كل العناصر التي كلاهما أ و ب مشترك.

سنلقي نظرة على التفاصيل المتعلقة بالتقاطع في نظرية المجموعات. كما سنرى ، الكلمة الرئيسية هنا هي كلمة "و".

للحصول على مثال لكيفية تشكيل تقاطع مجموعتين أ مجموعة جديدةدعنا نفكر في المجموعات أ = {1 و 2 و 3 و 4 و 5} و ب = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. للعثور على تقاطع هاتين المجموعتين ، نحتاج إلى معرفة العناصر المشتركة بينهما. الأرقام 3 ، 4 ، 5 هي عناصر من المجموعتين ، وبالتالي تقاطعات أ و ب هو {3. 4. 5].

بالإضافة إلى فهم المفاهيم المتعلقة بعمليات نظرية المجموعة ، من المهم أن تكون قادرًا على قراءة الرموز المستخدمة للدلالة على هذه العمليات. أحيانًا يتم استبدال رمز التقاطع بالكلمة "و" بين مجموعتين. تقترح هذه الكلمة التدوين الأكثر إحكاما لتقاطع يستخدم عادة.

الرمز المستخدم لتقاطع المجموعتين أ و ب اعطي من قبل أ ∩ ب. إحدى الطرق لتذكر أن هذا الرمز ∩ يشير إلى التقاطع هو ملاحظة تشابهه مع حرف A ، وهو اختصار لكلمة "و".

لرؤية هذا التدوين عمليًا ، ارجع إلى المثال أعلاه. هنا كان لدينا المجموعات أ = {1 و 2 و 3 و 4 و 5} و ب = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. لذا سنكتب المعادلة المحددة أ ∩ ب = {3, 4, 5}.

تُظهر لنا هوية أساسية واحدة تتضمن التقاطع ما يحدث عندما نأخذ تقاطع أي مجموعة مع المجموعة الفارغة ، المشار إليها بالرقم 8709. المجموعة الفارغة هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. إذا لم تكن هناك عناصر في مجموعة واحدة على الأقل من المجموعات التي نحاول العثور على تقاطعها ، فإن المجموعتين لا تحتويان على عناصر مشتركة. وبعبارة أخرى ، تقاطع أي مجموعة مع المجموعة الفارغة سيعطينا المجموعة الفارغة.

تصبح هذه الهوية أكثر إحكاما مع استخدام تدويننا. لدينا الهوية: أ ∩ ∅ = ∅.

بالنسبة للطرف الآخر ، ماذا يحدث عندما نفحص تقاطع مجموعة مع المجموعة العالمية؟ شبيه بكيفية الكلمة كون يستخدم في علم الفلك ليعني كل شيء ، تحتوي المجموعة العالمية على كل عنصر. ويترتب على ذلك أن كل عنصر في مجموعتنا هو أيضًا عنصر في المجموعة العالمية. وبالتالي فإن تقاطع أي مجموعة مع المجموعة العالمية هو المجموعة التي بدأنا بها.

مرة أخرى يأتي تدويننا إلى الإنقاذ للتعبير عن هذه الهوية بإيجاز. لأي مجموعة أ والمجموعة العالمية ش, أ ∩ ش = أ.

هناك العديد من المعادلات المحددة التي تنطوي على استخدام عملية التقاطع. بالطبع ، من الجيد دائمًا ممارسة باستخدام لغة نظرية المجموعات. لجميع المجموعات أو ب و د نملك:

• الملكية الانعكاسية: أ ∩ أ =أ
• خاصية التبديل: أ ∩ ب = ب ∩ أ
• ملكية مشتركة: (أ ∩ ب) ∩ د =أ ∩ (ب ∩ د)
• ملكية التوزيع: (أ ∪ ب) ∩ د = (أ ∩ د)∪ (ب ∩ د)
• قانون DeMorgan الأول: (أ ∩ ب)^ج = أ^ج ∪ ب^ج
• قانون DeMorgan الثاني: (أ ∪ ب)^ج = أ^ج ∩ ب^ج