ميل خط الانحدار ومعامل الارتباط

عدة مرات في دراسة الإحصاء من المهم إجراء اتصالات بين مواضيع مختلفة. سنرى مثالاً على ذلك يرتبط فيه ميل خط الانحدار مباشرةً بـ معامل الارتباط. بما أن هذين المفهومين ينطويان على خطوط مستقيمة ، فمن الطبيعي فقط طرح السؤال ، "كيف يتم معامل الارتباط و خط أقل مربع ذات صلة؟"

أولاً ، سننظر إلى بعض المعلومات الأساسية فيما يتعلق بكل من هذين الموضوعين.

من المهم أن نتذكر التفاصيل المتعلقة بمعامل الارتباط ، والتي يتم الإشارة إليها بواسطة ص. يتم استخدام هذه الإحصائية عندما نقرن البيانات الكمية. من scatterplot من البيانات المقترنة، يمكننا البحث عن الاتجاهات في التوزيع العام للبيانات. تعرض بعض البيانات المقترنة نمط خطي أو خط مستقيم. لكن في الممارسة العملية ، لا تسقط البيانات تمامًا على طول خط مستقيم.

العديد من الناس ينظرون إلى نفسه scatterplot تختلف البيانات المقترنة حول مدى قربها من إظهار اتجاه خطي شامل. بعد كل شيء ، قد تكون معاييرنا لهذا ذاتية إلى حد ما. يمكن أن يؤثر المقياس الذي نستخدمه أيضًا على إدراكنا للبيانات. لهذه الأسباب وغيرها نحتاج إلى نوع من التدبير الموضوعي لمعرفة مدى قرب بياناتنا المقترنة من كونها خطية. معامل الارتباط يحقق هذا لنا.

بعض الحقائق الأساسية عنه ص تتضمن:

• قيمة ال ص يتراوح بين أي رقم حقيقي من -1 إلى 1.
• قيم ص بالقرب من 0 يعني أن هناك علاقة خطية ضئيلة بين البيانات.
• قيم ص ما يقرب من 1 يعني أن هناك علاقة خطية إيجابية بين البيانات. هذا يعني أن س يزيد ذلك ذ يزيد أيضا.
• قيم ص بالقرب من -1 يعني أن هناك علاقة خطية سلبية بين البيانات. هذا يعني أن س يزيد ذلك ذ النقصان.

يشير العنصران الأخيران في القائمة أعلاه إلى اتجاه خط المربعات الصغرى الأكثر ملاءمة. تذكر أن ميل الخط هو قياس لعدد الوحدات التي ترتفع أو تنخفض لكل وحدة ننتقل إلى اليمين. في بعض الأحيان ، يتم توضيح ذلك كصعود السطر مقسومًا على المدى ، أو التغيير في ذ القيم مقسومة على التغيير في س القيم.

بشكل عام ، الخطوط المستقيمة لها منحدرات إيجابية أو سلبية أو صفرية. إذا أردنا فحص خطوط الانحدار المربعة لدينا ومقارنة القيم المناظرة لها ص، نلاحظ أنه في كل مرة تحتوي بياناتنا على معامل الارتباط السلبيمنحدر خط الانحدار سالب. وبالمثل ، في كل مرة يكون لدينا فيها معامل ارتباط إيجابي ، يكون ميل خط الانحدار موجبًا.

يجب أن يكون واضحًا من هذه الملاحظة أن هناك بالتأكيد صلة بين علامة معامل الارتباط ومنحدر خط المربعات الصغرى. يبقى أن نوضح لماذا هذا صحيح.

سبب الاتصال بين قيمة ص يرتبط انحدار خط المربعات الصغرى بالصيغة التي تعطينا ميل هذا الخط. للبيانات المقترنة (س ، ذ) نشير إلى الانحراف المعياري من س البيانات من قبل س_س والانحراف المعياري لل ذ البيانات من قبل س_ذ.

صيغة المنحدر أ من خط الانحدار هو:

• أ = ص (ق)_ذ/س_س)

يتضمن حساب الانحراف المعياري أخذ الجذر التربيعي الموجب لرقم غير سالب. نتيجة لذلك ، يجب أن يكون كل من الانحرافات المعيارية في صيغة المنحدر غير سالب. إذا افترضنا أن هناك بعض التباين في بياناتنا ، فسنكون قادرين على تجاهل احتمال أن يكون أي من هذين الانحرافين المعياريين صفرًا. وبالتالي فإن علامة معامل الارتباط ستكون هي نفسها علامة ميل خط الانحدار.