ما هي لحظات في الإحصاء؟

لحظات في الإحصائيات الرياضية تنطوي على حساب أساسي. يمكن استخدام هذه الحسابات لإيجاد متوسط ​​توزيع الاحتمال والتباين والانحراف.

افترض أن لدينا مجموعة من البيانات بإجمالي نمنفصله نقاط. حساب واحد مهم ، وهو في الواقع عدة أرقام ، يسمى ساللحظة ال. ال سعشر لحظة لمجموعة البيانات مع القيم س₁, س₂, س₃,..., س_ن من الصيغة:

(س₁^س + س₂^س + س₃^س +... + س_ن^س)/ن

يتطلب استخدام هذه الصيغة أن نكون حذرين في ترتيب عملياتنا. نحتاج إلى إجراء الأسس أولاً ، ثم إضافة ثم تقسيم هذا المبلغ على ن العدد الإجمالي لقيم البيانات.

المصطلح لحظة تم أخذها من الفيزياء. في الفيزياء ، يتم حساب لحظة نظام كتل النقاط باستخدام صيغة مماثلة لتلك المذكورة أعلاه ، ويتم استخدام هذه الصيغة في العثور على مركز كتلة النقاط. في الإحصائيات ، لم تعد القيم كتلًا ، ولكن كما سنرى ، لا تزال لحظات في الإحصاء تقيس شيئًا متعلقًا بمركز القيم.

للحظة الأولى ، بدأنا س = 1. وبالتالي فإن صيغة اللحظة الأولى هي:

(س₁س₂ + س₃ +... + س_ن)/ن

هذا مطابق لصيغة العينة تعني.

اللحظة الأولى للقيم 1 ، 3 ، 6 ، 10 هي (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

للحظة الثانية وضعناها س = 2. صيغة اللحظة الثانية هي:

(س₁² + س₂² + س₃² +... + س_ن²)/ن

اللحظة الثانية للقيم 1 ، 3 ، 6 ، 10 هي (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

للحظة الثالثة وضعناها س = 3. معادلة اللحظة الثالثة هي:

(س₁³ + س₂³ + س₃³ +... + س_ن³)/ن

اللحظة الثالثة للقيم 1 ، 3 ، 6 ، 10 هي (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

يمكن حساب اللحظات الأعلى بطريقة مماثلة. فقط استبدل س في الصيغة أعلاه مع الرقم يشير إلى اللحظة المطلوبة.

الفكرة ذات الصلة هي أن ساللحظة ال حول المتوسط. في هذا الحساب نقوم بالخطوات التالية:

1. أولاً ، احسب متوسط ​​القيم.
2. بعد ذلك ، اطرح هذا المتوسط ​​من كل قيمة.
3. ثم رفع كل من هذه الاختلافات إلى سالسلطة ال.
4. الآن أضف الأرقام من الخطوة رقم 3 معًا.
5. أخيرًا ، اقسم هذا المجموع على عدد القيم التي بدأنا بها.

صيغة ساللحظة ال حول المتوسط م من قيم القيم س₁, س₂, س₃,..., س_ن اعطي من قبل:

م_س = ((س₁ - م)^س + (س₂ - م)^س + (س₃ - م)^س +... + (س_ن - م)^س)/ن

دائمًا ما تكون اللحظة الأولى حول المتوسط ​​مساوية للصفر ، بغض النظر عن مجموعة البيانات التي نعمل معها. يمكن ملاحظة ذلك في ما يلي:

م₁ = ((س₁ - م) + (س₂ - م) + (س₃ - م) +... + (س_ن - م))/ن = ((س₁+ س₂ + س₃ +... + س_ن) - نانومتر)/ن = م - م = 0.

يتم الحصول على اللحظة الثانية حول المتوسط ​​من الصيغة أعلاه عن طريق الإعدادس = 2:

م₂ = ((س₁ - م)² + (س₂ - م)² + (س₃ - م)² +... + (س_ن - م)²)/ن

هذه الصيغة تعادل تلك الخاصة بتغير العينة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المجموعة 1 ، 3 ، 6 ، 10. لقد حسبنا بالفعل متوسط ​​هذه المجموعة ليكون 5. اطرح هذا من كل من قيم البيانات للحصول على الاختلافات في:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

نقوم بتربيع كل من هذه القيم ونجمعها معًا: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. وأخيراً قسمة هذا الرقم على عدد نقاط البيانات: 46/4 = 11.5

كما ذكرنا أعلاه ، اللحظة الأولى هي الوسط ، والثانية حول المتوسط ​​هي العينة التباين. قدم كارل بيرسون استخدام اللحظة الثالثة حول المتوسط ​​في الحساب انحراف واللحظة الرابعة عن المتوسط ​​في حساب التفرطح.