Chuck-a-Luck هي لعبة حظ. ثلاثة نرد يتم لفها ، وأحيانًا في إطار سلكي. بسبب هذا الإطار ، تسمى هذه اللعبة أيضًا قفص العصافير. غالبًا ما تُرى هذه اللعبة في الكرنفالات بدلاً من الكازينوهات. ومع ذلك ، نظرًا لاستخدام النرد العشوائي ، يمكننا استخدام الاحتمالية لتحليل هذه اللعبة. وبشكل أكثر تحديدًا ، يمكننا حساب القيمة المتوقعة لهذه اللعبة.
الرهانات
هناك عدة أنواع من الرهانات التي يمكن المراهنة عليها. سننظر فقط في رهان الرقم الواحد. في هذا الرهان نختار ببساطة رقمًا محددًا من واحد إلى ستة. ثم نلف النرد. فكر في الاحتمالات. كل النرد ، اثنان منهم ، واحد منهم أو لا شيء يمكن أن يظهر الرقم الذي اخترناه.
افترض أن هذه اللعبة ستدفع ما يلي:
- 3 دولارات إذا تطابق النرد الثلاثة مع الرقم المختار.
- 2 دولار إذا تطابق نردان بالضبط مع الرقم المختار.
- $ 1 إذا تطابق أحد الزهر بالضبط مع الرقم المختار.
إذا لم يتطابق أي من الزهر مع الرقم المختار ، فيجب علينا دفع 1 دولار.
ما هي القيمة المتوقعة لهذه اللعبة؟ وبعبارة أخرى ، على المدى الطويل كم من المتوقع أن نفوز أو نخسر في المتوسط إذا لعبنا هذه اللعبة بشكل متكرر؟
الاحتمالات
للعثور على القيمة المتوقعة لهذه اللعبة ، نحتاج إلى تحديد أربعة احتمالات. تتوافق هذه الاحتمالات مع النتائج الأربعة المحتملة. نلاحظ أن كل يموت يموت عن الآخرين. بسبب هذا الاستقلال ، نستخدم قاعدة الضرب. سيساعدنا هذا في تحديد عدد النتائج.
نفترض أيضا أن النرد عادلة. من المرجح أن يتم لف كل من الجوانب الستة على كل من النرد الثلاثة.
هناك 6 × 6 × 6 = 216 نتيجة محتملة من دحرجة هذه النردات الثلاثة. سيكون هذا الرقم هو القاسم لجميع احتمالاتنا.
هناك طريقة واحدة لمطابقة النردات الثلاثة مع الرقم المختار.
هناك خمس طرق لموت واحد لعدم تطابق الرقم المختار. هذا يعني أن هناك 5 × 5 × 5 = 125 طريقة لا يتطابق فيها أي من الزهر مع الرقم الذي تم اختياره.
إذا أخذنا بعين الاعتبار اثنين من مطابقة النرد بالضبط ، فلدينا قالب واحد لا يتطابق.
- هناك 1 × 1 × 5 = 5 طرق لمطابقة النرد الأول مع رقمنا والثالثة مختلفة.
- هناك 1 × 5 × 1 = 5 طرق لمطابقة النرد الأول والثالث ، مع اختلاف الثاني.
- هناك 5 × 1 × 1 = 5 طرق للموت الأول ليكون مختلفًا والثاني والثالث للمطابقة.
هذا يعني أن هناك ما مجموعه 15 طريقة لمطابقة نردان تمامًا.
لقد قمنا الآن بحساب عدد الطرق للحصول على جميع نتائجنا باستثناء واحدة. هناك 216 لفات ممكنة. لقد احتسبنا 1 + 15 + 125 = 141 منها. هذا يعني أن هناك 216 -141 = 75 متبقية.
نقوم بجمع كل المعلومات المذكورة أعلاه ونرى:
- احتمال أن يتطابق رقمنا مع النردات الثلاثة هو 1/216.
- احتمال أن يتطابق رقمنا مع نردين تمامًا هو 15/216.
- احتمال تطابق رقمنا مع رقم واحد هو 75/216.
- احتمال أن رقمنا لا يتطابق مع أي من الزهر هو 125/216.
القيمة المتوقعة
نحن الآن على استعداد لحساب القيمة المتوقعة من هذا الوضع. ال صيغة للقيمة المتوقعة يتطلب منا مضاعفة احتمال كل حدث في صافي الربح أو الخسارة في حالة وقوع الحدث. ثم نضيف كل هذه المنتجات معًا.
حساب القيمة المتوقعة كما يلي:
(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216
هذا هو تقريبا - 0.08 دولار. التفسير هو أنه إذا لعبنا هذه اللعبة مرارًا وتكرارًا ، في المتوسط سنخسر 8 سنتات في كل مرة لعبنا فيها.