كيفية حساب تباين توزيع بواسون

يعد التباين في توزيع متغير عشوائي ميزة مهمة. يشير هذا الرقم إلى انتشار التوزيع ، ويمكن العثور عليه عن طريق تربيع الانحراف المعياري. واحد يستخدم عادة منفصلة توزيع هو أن توزيع بواسون. سنرى كيفية حساب التباين في توزيع Poisson مع المعلمة λ.

يتم استخدام توزيعات Poisson عندما يكون لدينا سلسلة متصلة من نوع ما ونقوم بحساب التغييرات المنفصلة داخل هذه السلسلة. يحدث هذا عندما نأخذ في الاعتبار عدد الأشخاص الذين يصلون إلى عداد تذاكر السينما خلال ساعة واحدة عدد السيارات التي تسير عبر تقاطع مع توقف رباعي أو حساب عدد العيوب التي تحدث بطول الأسلاك.

إذا وضعنا بعض الافتراضات التوضيحية في هذه السيناريوهات ، فإن هذه الحالات تتطابق مع الشروط لعملية Poisson. نقول بعد ذلك أن المتغير العشوائي ، الذي يحسب عدد التغييرات ، له توزيع بواسون.

يشير توزيع بواسون في الواقع إلى عائلة لا حصر لها من التوزيعات. تأتي هذه التوزيعات مجهزة بمعلمة واحدة λ. المعلمة هي إيجابية عدد حقيقي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالعدد المتوقع من التغييرات التي تم ملاحظتها في الاستمرارية. علاوة على ذلك ، سنرى أن هذه المعلمة تساوي ليس فقط تعني التوزيع ولكن أيضا التباين في التوزيع.

تُعطى دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع Poisson بواسطة:

F(س) = (λسه-λ)/س!

في هذا التعبير ، الرسالة ه هو رقم وهو الثابت الرياضي بقيمة تساوي تقريبًا 2.718281828. المتغير س يمكن أن يكون أي عدد صحيح غير سالب.

لحساب متوسط ​​توزيع Poisson ، نستخدم هذا التوزيع وظيفة توليد لحظة. نحن نرى ذلك:

م( تي ) = E [هتكساس] = Σ هتكساسF( س) = Σهتكساس λسه-λ)/س!

نتذكر الآن سلسلة ماكلورين ل ه^ش. منذ أي مشتق من وظيفة ه^ش يكون ه^ش، كل هذه المشتقات التي تم تقييمها عند الصفر تعطينا 1. والنتيجة هي السلسلة ه^ش = Σ ش^ن/ن!.

عن طريق استخدام سلسلة ماكلورين ل ه^ش، يمكننا التعبير عن وظيفة توليد اللحظة ليس كسلسلة ، ولكن في شكل مغلق. نحن نجمع كل المصطلحات مع الأس س. هكذا م(تي) = ه^{λ(هر - 1)}.

نجد الآن الفرق من خلال أخذ المشتق الثاني لـ م وتقييم هذا عند مستوى الصفر. منذ م’(تي) =λه^تيم(تي) ، نستخدم قاعدة المنتج لحساب المشتق الثاني:

م’’(تي)=λ2ه2تيم’(تي) + λهتيم(تي)

نقيم هذا عند مستوى الصفر ونجد ذلك م’’(0) = λ² + λ. ثم نستخدم حقيقة ذلك م'(0) = λ لحساب التباين.

فار (اكس) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.

هذا يدل على أن المعلمة λ ليست فقط وسيلة لتوزيع Poisson ولكن هي أيضًا تباينها.