شيء واحد رائع في الرياضيات هو الطريقة التي تلتقي بها مجالات تبدو غير ذات صلة بالموضوع بطرق مدهشة. أحد الأمثلة على ذلك هو تطبيق فكرة من حساب التفاضل والتكامل إلى منحنى الجرس. يتم استخدام أداة في حساب التفاضل والتكامل تعرف باسم المشتق للإجابة على السؤال التالي. أين توجد نقاط الانعطاف على الرسم البياني لدالة كثافة الاحتمال للعادي توزيع?
تتميز المنحنيات بمجموعة متنوعة من الميزات التي يمكن تصنيفها وتصنيفها. أحد العناصر المتعلقة بالمنحنيات التي يمكن أن نأخذها بعين الاعتبار هو ما إذا كان الرسم البياني للدالة في تزايد أم تناقص. ميزة أخرى تتعلق بشيء يعرف باسم التقعر. يمكن اعتبار هذا تقريبًا على أنه الاتجاه الذي يواجهه جزء من المنحنى. أكثر التقعر رسميًا هو اتجاه الانحناء.
يقال أن جزءًا من المنحنى مقعر إذا كان على شكل حرف U. جزء من المنحنى مقعر لأسفل إذا كان على شكل ما يلي ∩. من السهل أن نتذكر كيف يبدو هذا إذا فكرنا في فتح كهف إما لأعلى مقعر لأعلى أو لأسفل مقعر لأسفل. نقطة الانعطاف هي حيث يغير المنحنى التقعر. وبعبارة أخرى ، إنها نقطة ينتقل فيها المنحنى من مقعر إلى مقعر ، أو العكس.
المشتق في حساب التفاضل والتكامل هو أداة تُستخدم بطرق متنوعة. في حين أن الاستخدام الأكثر شهرة للمشتق هو تحديد منحدر خط الظل إلى منحنى عند نقطة معينة ، هناك تطبيقات أخرى. يتعلق أحد هذه التطبيقات بإيجاد نقاط انعطاف في الرسم البياني للدالة.
إذا كان الرسم البياني ص = و (س) لديه نقطة انعطاف عند س = أثم المشتق الثاني من F تم تقييمه في أ صفر. نكتب هذا في التدوين الرياضي باسم f ’(a) = 0. إذا كان المشتق الثاني للدالة صفرًا عند نقطة ، فهذا لا يعني تلقائيًا أننا وجدنا نقطة انعطاف. ومع ذلك ، يمكننا البحث عن نقاط انعطاف محتملة من خلال رؤية مكان المشتق الثاني صفر. سنستخدم هذه الطريقة لتحديد موقع نقاط انعطاف التوزيع الطبيعي.
من هذا من السهل أن نرى أن نقاط الانعطاف تحدث حيث س = μ ± σ. وبعبارة أخرى ، تقع نقاط الانعطاف على انحراف معياري واحد فوق المتوسط وانحراف معياري واحد أسفل المتوسط.