خصائص العدد الحقيقي

ما هو الرقم؟ حسنا ذلك يعتمد. هناك مجموعة متنوعة من أنواع مختلفة من الأرقام ، ولكل منها خصائصها الخاصة. نوع واحد من الرقم ، والذي يتم على أساسه الإحصاء، الاحتمال ، والكثير من الرياضيات يعتمد عليها ، يسمى العدد الحقيقي.

لمعرفة الرقم الحقيقي ، سنقوم أولاً بجولة موجزة لأنواع أخرى من الأرقام.

نتعرف أولاً على الأرقام من أجل العد. بدأنا بمطابقة الأرقام 1 و 2 و 3 بأصابعنا. ثم وصلنا إلى أعلى مستوى ممكن ، والذي ربما لم يكن بهذا الارتفاع. هذه الأرقام العد أو الأرقام الطبيعية كانت الأرقام الوحيدة التي عرفنا عنها.

لاحقًا ، عند التعامل مع الطرح ، سلبي تم إدخال الأعداد الصحيحة. مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة. بعد ذلك بوقت قصير ، تم التفكير في الأرقام العقلانية ، والتي تسمى أيضًا الكسور. بما أنه يمكن كتابة كل عدد صحيح على شكل كسر مع 1 في المقام ، فإننا نقول أن الأعداد الصحيحة تشكل مجموعة فرعية من الأعداد المنطقية.

ال اليونانيون القدماء أدركت أنه لا يمكن تشكيل جميع الأرقام على شكل كسر. على سبيل المثال ، لا يمكن التعبير عن الجذر التربيعي لـ 2 على شكل كسر. تسمى هذه الأنواع من الأرقام أرقام غير منطقية. تكثر الأرقام اللاعقلانية ، ومن المدهش إلى حد ما إلى حد ما أن هناك أرقامًا غير منطقية أكثر من الأرقام العقلانية. تشمل الأرقام غير المنطقية الأخرى

يمكن كتابة كل رقم حقيقي على أنه عشري. أنواع مختلفة من الأعداد الحقيقية لها أنواع مختلفة من التوسعات العشرية. تمدد التوسيع العشري لرقم منطقي ، مثل 2 ، 3.25 ، أو 1.2342 ، أو تكرار ، مثل .33333.. . أو .123123123.. . على النقيض من ذلك ، فإن التمدد العشري لرقم غير منطقي لا ينتهي ولا يتكرر. يمكننا أن نرى هذا في التوسع العشري للبي. هناك سلسلة لا تنتهي أبدًا من الأرقام لـ pi ، وما هو أكثر من ذلك ، لا توجد سلسلة من الأرقام التي تكرر نفسها إلى ما لا نهاية.

يمكن تصور الأرقام الحقيقية من خلال ربط كل واحد منهم بأحد النقاط اللانهائية على طول خط مستقيم. للأرقام الحقيقية ترتيب ، مما يعني أنه بالنسبة لأي رقمين حقيقيين مميزين يمكننا القول أن أحدهما أكبر من الآخر. من خلال الاصطلاح ، الانتقال إلى اليسار على طول خط الأعداد الحقيقية يتوافق مع الأرقام الأقل والأقل. الانتقال إلى اليمين على طول خط الأعداد الحقيقية يتوافق مع أعداد أكبر وأكبر.

تتصرف الأرقام الحقيقية مثل الأرقام الأخرى التي اعتدنا على التعامل معها. يمكننا أن نجمعها ونطرحها ونضربها ونقسمها (طالما أننا لا نقسم على صفر). ترتيب الجمع والضرب غير مهم ، حيث توجد خاصية تبادلية. تخبرنا خاصية التوزيع كيف يتفاعل الضرب والجمع مع بعضهما البعض.

كما ذكرنا من قبل ، فإن الأرقام الحقيقية تمتلك طلبًا. بالنظر إلى أي رقمين حقيقيين س و ذ، نحن نعلم أن واحدًا فقط مما يلي صحيح:

س = ذ, س < ذ أو س > ذ.

الخاصية التي تحدد الأرقام الحقيقية بصرف النظر عن مجموعات أخرى من الأرقام ، مثل المبررات ، هي خاصية تعرف باسم الاكتمال. يعتبر الاكتمال تقنيًا بعض الشيء لتفسيره ، ولكن الفكرة البديهية هي أن مجموعة الأرقام العقلانية بها فجوات فيها. لا تحتوي مجموعة الأعداد الحقيقية على أي فجوات ، لأنها كاملة.

كمثال توضيحي ، سننظر في تسلسل الأرقام العقلانية 3 ، 3.1 ، 3.14 ، 3.141 ، 3.1415 ،... كل مصطلح في هذا التسلسل هو تقريب لـ pi ، يتم الحصول عليه عن طريق اقتطاع التمدد العشري لـ pi. تقترب شروط هذا التسلسل من pi. ومع ذلك ، كما ذكرنا ، فإن pi ليس عددًا منطقيًا. نحن بحاجة إلى استخدام أرقام غير منطقية لسد فتحات خط الأرقام التي تحدث من خلال النظر فقط في الأرقام المنطقية.

ليس من المستغرب أن يكون هناك عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية. يمكن ملاحظة ذلك بسهولة إلى حد ما عندما نعتبر أن الأعداد الصحيحة تشكل مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية. يمكننا أيضًا رؤية ذلك من خلال إدراك أن خط الأعداد يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط.

والمثير للدهشة هو أن اللانهاية المستخدمة لحساب الأعداد الحقيقية من نوع مختلف عن اللانهاية المستخدمة لحساب الأعداد الصحيحة. الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة والمبررات لا حصر لها. مجموعة الأعداد الحقيقية لا حصر لها.

تحصل الأرقام الحقيقية على اسمها لتمييزها عن التعميم الإضافي لمفهوم الرقم. الرقم التخيلي أنا يعرف بأنه الجذر التربيعي للسالب. أي عدد حقيقي مضروب في أنا يُعرف أيضًا برقم وهمي. تمتد الأرقام التخيلية بالتأكيد إلى مفهومنا للأرقام ، لأنها ليست على الإطلاق ما فكرنا به عندما تعلمنا العد لأول مرة.