ناقلات الرياضيات: مقدمة أساسية ولكنها شاملة

هذه مقدمة أساسية ، على الرغم من الأمل الشامل إلى حد ما ، في العمل مع المتجهات. تظهر المتجهات في مجموعة متنوعة من الطرق من الإزاحة والسرعة والتسارع إلى القوى والحقول. هذه المقالة مخصصة لرياضيات المتجهات ؛ سيتم تناول تطبيقها في حالات محددة في مكان آخر.

أ كمية المتجهأو المتجه، يوفر معلومات حول حجم الكمية وكذلك اتجاه الكمية. عند إعطاء توجيهات لمنزل ، لا يكفي أن نقول أنه على بعد 10 أميال ، ولكن يجب أيضًا توفير اتجاه هذه الأميال العشرة حتى تكون المعلومات مفيدة. سيتم الإشارة إلى المتغيرات التي تكون متجهات باستخدام متغير غامق ، على الرغم من أنه من الشائع رؤية المتجهات المشار إليها بسهام صغيرة فوق المتغير.

تمامًا كما لا نقول أن المنزل الآخر على بُعد -10 أميال ، يكون حجم الناقل دائمًا رقمًا موجبًا ، أو بالأحرى القيمة المطلقة لـ "طول" الناقل (على الرغم من أن قد لا تكون الكمية طولًا ، قد تكون سرعة ، تسارع ، قوة ، إلخ.) سلبي في المقدمة ناقل لا يشير إلى تغير في الحجم ، بل في اتجاه المتجه.

في الأمثلة أعلاه ، المسافة هي الكمية العددية (10 أميال) ولكن الإزاحة هي كمية المتجه (10 أميال إلى الشمال الشرقي). وبالمثل ، فإن السرعة كمية العددية بينما السرعة هي المتجه كمية.

أ حتى النصر هو ناقل له حجم واحد. عادة ما يكون الناقل الذي يمثل ناقل الوحدة غامقًا أيضًا ، على الرغم من أنه سيكون له قيراط (^) فوقه للإشارة إلى طبيعة الوحدة للمتغير. متجه الوحدة سعند كتابته بالقيراط ، تتم قراءته بشكل عام على أنه "x-hat" لأن القيراط يبدو مثل قبعة على المتغير.

ال صفر متجهأو ناقلات فارغة، هو متجه بحجم صفر. هو مكتوب 0 في هذه المقالة.

يتم توجيه المتجهات بشكل عام على نظام إحداثيات ، وأكثرها شيوعًا هو المستوى الديكارتي ثنائي الأبعاد. يحتوي المستوى الديكارتي على محور أفقي يسمى x ومحور رأسي يسمى y. تتطلب بعض التطبيقات المتقدمة للمتجهات في الفيزياء استخدام مساحة ثلاثية الأبعاد ، تكون فيها المحاور x و y و z. ستتناول هذه المقالة في الغالب النظام ثنائي الأبعاد ، على الرغم من أنه يمكن توسيع المفاهيم ببعض العناية إلى ثلاثة أبعاد دون الكثير من المتاعب.

يمكن تقسيم المتجهات في أنظمة الإحداثيات متعددة الأبعاد إلى أجهزتها ناقلات المكون. في حالة ثنائية الأبعاد ، ينتج عن ذلك أ مكون س و مكون ص. عند تقسيم المتجه إلى مكوناته ، يكون المتجه عبارة عن مجموع المكونات:

F = F_س + F_ذ

ثيتاF_سF_ذF

F_س / F = كوس ثيتا و F_ذ / F = الخطيئة ثيتاالذي يعطينا
F_س = F كوس ثيتا و F_ذ = F خطيئة ثيتا

لاحظ أن الأرقام هنا هي مقادير المتجهات. نحن نعرف اتجاه المكونات ، لكننا نحاول العثور على حجمها ، لذلك نزيل معلومات الاتجاه ونجري هذه الحسابات العددية لمعرفة الحجم. يمكن استخدام المزيد من تطبيق علم المثلثات لإيجاد علاقات أخرى (مثل المماس) تتعلق ببعض هذه الكميات ، ولكن أعتقد أن هذا كافٍ في الوقت الحالي.

لسنوات عديدة ، الرياضيات الوحيدة التي يتعلمها الطالب هي الرياضيات العددية. إذا سافرت 5 أميال شمالًا و 5 أميال شرقًا ، فقد سافرت 10 أميال. تؤدي إضافة الكميات العددية إلى تجاهل جميع المعلومات حول الاتجاهات.

يتم التعامل مع المتجهات بشكل مختلف إلى حد ما. يجب دائمًا مراعاة الاتجاه عند التعامل معه.

عندما تقوم بإضافة متجهين ، كما لو كنت تأخذ المتجهات وتضعها من البداية إلى النهاية وأنشأت ناقلًا جديدًا يعمل من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. إذا كانت المتجهات لها نفس الاتجاه ، فهذا يعني فقط إضافة المقادير ، ولكن إذا كانت لها اتجاهات مختلفة ، فقد تصبح أكثر تعقيدًا.

تقوم بإضافة ناقلات عن طريق كسرها في مكوناتها ثم إضافة المكونات ، على النحو التالي:

أ + ب = ج
أ_س + أ_ذ + ب_س + ب_ذ =
( أ_س + ب_س) + ( أ_ذ + ب_ذ) = ج_س + ج_ذ

سينتج عن مكوِّن "x" مكوِّن "س" للمتغير الجديد ، في حين ينتج عن مكوِّن "ص" المكون "ص" للمتغير الجديد.

الترتيب الذي تضيف المتجهات لا يهم. في الواقع ، هناك العديد من الخصائص من إضافة الإضافة العددية للإضافة المتجهية:

خاصية هوية ناقل الجمع
أ + 0 = أ
عكس الممتلكات من ناقلات الجمع
أ + -أ = أ - أ = 0
خاصية عاكسة لإضافة ناقل
أ = أ
خاصية التبديل إضافة المتجهات
أ + ب = ب + أ
خاصية اقتران ناقلات الجمع
(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)
خاصية متعدية من إضافة المتجهات
إذا أ = ب و ج = ب، ثم أ = ج

إن أبسط عملية يمكن إجراؤها على المتجه هي ضربها بواسطة عددي. هذا الضرب العددي يغير حجم المتجه. بمعنى آخر ، يجعل المتجه أطول أو أقصر.

عند ضرب مرات العددية السلبية ، فإن الموجه الناتج يشير في الاتجاه المعاكس.

ال المنتج العددية من متجهين هي وسيلة لضربهم معا للحصول على كمية العددية. هذا مكتوب كضرب المتجهين ، مع نقطة في الوسط تمثل الضرب. على هذا النحو ، وغالبا ما يطلق عليه المنتج نقطة اثنين من المتجهات.

لحساب المنتج نقطة من متجهين ، عليك أن تنظر في الزاوية بينهما. بمعنى آخر ، إذا شاركوا نفس نقطة البداية ، فماذا سيكون قياس الزاوية (ثيتا) بينهم. يتم تعريف منتج نقطة على النحو التالي:

أ * ب = أب كوس ثيتا

أبأبا

في الحالات التي تكون فيها المتجهات عمودية (أو ثيتا = 90 درجة) ، كوس ثيتا سيكون صفر. وبالتالي، المنتج نقطة من ناقلات عمودي هو دائما صفر. عندما تكون المتجهات موازى (أو ثيتا = 0 درجة) ، كوس ثيتا هو 1 ، وبالتالي فإن المنتج القياسي هو مجرد نتاج الأحجام.

يمكن استخدام هذه الحقائق البسيطة الدقيقة لإثبات أنه إذا كنت تعرف المكونات ، فيمكنك التخلص من الحاجة إلى ثيتا تمامًا باستخدام المعادلة (ثنائية الأبعاد):

أ * ب = أ_س ب_س + أ_ذ ب_ذ

ال ناقلات المنتج هو مكتوب في النموذج أ س ب، وعادة ما يسمى المنتوج الوسيط اثنين من المتجهات. في هذه الحالة ، نقوم بضرب المتجهات وبدلاً من الحصول على كمية عددية ، سوف نحصل على كمية المتجهات. هذا هو أصعب الحسابات الموجهة التي سنتعامل معها ، كما هي ليس التبادلية وينطوي على استخدام اللعين قاعدة اليد اليمنى، والتي سوف تحصل عليه قريبا.

مرة أخرى ، نعتبر متجهين مرسومين من نفس النقطة ، مع الزاوية ثيتا بينهم. نأخذ دائما أصغر زاوية ، لذلك ثيتا سيكون دائمًا في نطاق من 0 إلى 180 وستكون النتيجة بالتالي سلبية. يتم تحديد حجم المتجه الناتج على النحو التالي:

إذا ج = أ س ب، ثم ج = أب خطيئة ثيتا

المنتج المتجه للمتجهات المتوازية (أو المتوازية) يكون دائمًا صفراً

سيكون المنتج المتجه عموديًا على المستوى الذي تم إنشاؤه من هذين المتجهين. إذا قمت بتصوير الطائرة على أنها مسطحة على طاولة ، فسيصبح السؤال ما إذا كان الموجه الناتج يذهب أعلى (لدينا "الخروج" من الجدول ، من وجهة نظرنا) أو أسفل (أو "إلى" الجدول ، من وجهة نظرنا إنطباع).

من أجل معرفة ذلك ، يجب عليك تطبيق ما يسمى بـ قاعدة اليد اليمنى. عندما درست الفيزياء في المدرسة ، أنا كرهت القاعدة اليمنى. في كل مرة استخدمها ، كان علي أن أسحب الكتاب للبحث عن كيفية عمله. آمل أن يكون الوصف الخاص بي أكثر سهولة من الوصف الذي تعرفت عليه.

اذا كنت تمتلك أ س ب سوف تضع يدك اليمنى على طول ب بحيث يمكن أن تنحني أصابعك (باستثناء الإبهام) للإشارة على طول أ. بمعنى آخر ، أنت تحاول نوعًا ما أن تجعل الزاوية ثيتا بين النخيل وأربعة أصابع من يدك اليمنى. في هذه الحالة ، سيتمسك الإبهام بشكل مستقيم (أو خارج الشاشة ، إذا حاولت القيام بذلك حتى الكمبيوتر). سوف تصطف مفاصلك تقريبًا بنقطة انطلاق المتجهين. الدقة ليست ضرورية ، لكنني أريدك أن تحصل على الفكرة لأنني لا أملك صورة لهذا الغرض.

إذا ، ومع ذلك ، كنت تفكر ب س أ، سوف تفعل العكس. سوف تضع يدك اليمنى على طول أ وأشر أصابعك على طول ب. إذا حاولت القيام بذلك على شاشة الكمبيوتر ، فستجد أنه من المستحيل ، لذا استخدم خيالك. ستجد ، في هذه الحالة ، أن إبهامك الخيالي يشير إلى شاشة الكمبيوتر. هذا هو اتجاه المتجه الناتج.

تُظهر القاعدة اليمنى العلاقة التالية:

أ س ب = - ب س أ

cabc

ج_س = أ_ذ ب_ض - أ_ض ب_ذ
ج_ذ = أ_ض ب_س - أ_س ب_ض
ج_ض = أ_س ب_ذ - أ_ذ ب_س

أبج_سج_ذج

في المستويات العليا ، يمكن أن تصبح المتجهات معقدة للغاية للعمل معها. تكرس دورات كاملة في الكلية ، مثل الجبر الخطي ، قدرا كبيرا من الوقت للمصفوفات (التي كنت أتجنبها في هذه المقدمة) ، والمتجهات ، و ناقلات المساحات. يتجاوز هذا المستوى من التفصيل نطاق هذه المقالة ، لكن يجب أن يوفر هذا الأسس اللازمة لمعظم معالجة المتجهات التي يتم إجراؤها في الفصل الدراسي للفيزياء. إذا كنت تنوي دراسة الفيزياء بتعمق أكبر ، فسوف يتم تعريفك بمفاهيم مكافحة ناقلات الأمراض الأكثر تعقيدًا أثناء تقدمك في التعليم.