ال دالة جاما يعرف بالصيغة المعقدة التالية:
Γ ( ض ) = ∫0∞ه - ررض -1د
أحد الأسئلة التي يطرحها الناس عندما يواجهون هذه المعادلة المربكة لأول مرة هو ، "كيف تستخدم هذه الصيغة لحساب قيم وظيفة غاما؟ " هذا سؤال مهم لأنه من الصعب معرفة ما تعنيه هذه الوظيفة حتى وماذا تعني جميع الرموز إلى عن على.
تتمثل إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال في النظر إلى عدة حسابات نموذجية باستخدام وظيفة غاما. قبل القيام بذلك ، هناك بعض الأشياء من حساب التفاضل والتكامل التي يجب أن نعرفها ، مثل كيفية دمج النوع الأول غير الصحيح ، e هو ثابت رياضي.
التحفيز
قبل إجراء أي حسابات ، نفحص الدافع وراء هذه الحسابات. تظهر وظائف غاما عدة مرات خلف الكواليس. تم ذكر العديد من وظائف كثافة الاحتمال من حيث دالة غاما. تشمل الأمثلة على ذلك توزيع غاما وتوزيع الطلاب t ، ولا يمكن المبالغة في أهمية وظيفة غاما.
Γ ( 1 )
أول مثال للحساب الذي سندرسه هو إيجاد قيمة دالة جاما لـ Γ (1). تم العثور على هذا عن طريق الإعداد ض = 1 في الصيغة أعلاه:
∫0∞ه - رد
نحسب التكامل أعلاه في خطوتين:
- تكامل غير محدد efه - رد= -ه - ر + ج
- هذا جزء لا يتجزأ ، لذلك لدينا ∫0∞ه - رد = ليمب → ∞ -ه - ب + ه 0 = 1
Γ ( 2 )
حساب المثال التالي الذي سنأخذه بعين الاعتبار مشابه للمثال الأخير ، لكننا نزيد من قيمة ض بمقدار 1. نقوم الآن بحساب قيمة دالة جاما لـ Γ (2) عن طريق الضبط ض = 2 في الصيغة أعلاه. الخطوات هي نفسها المذكورة أعلاه:
Γ ( 2 ) = ∫0∞ه - رر دت
تكامل غير محدد efالشركة المصرية للاتصالات - رد=- تي - ر -ه - ر + ج. على الرغم من أننا قمنا فقط بزيادة قيمة ض بواسطة 1 ، يستغرق حساب هذا التكامل أكثر من العمل. للعثور على هذا التكامل ، يجب علينا استخدام تقنية من حساب التفاضل والتكامل تعرف باسم تكامل اجزاء. نستخدم الآن حدود التكامل تمامًا كما هو موضح أعلاه ونحتاج إلى حساب:
ليمب → ∞- كن - ب -ه - ب -0 هـ 0 + ه 0.
تسمح لنا نتيجة حساب التفاضل والتكامل المعروف باسم قاعدة L’Hospitals بحساب حد الحدب → ∞- كن - ب = 0. هذا يعني أن قيمة تكاملنا أعلاه هي 1.
Γ (ض +1 ) =ضΓ (ض )
ميزة أخرى لوظيفة غاما وأخرى تربطها ب عاملي هي الصيغة Γ (ض +1 ) =ضΓ (ض ) إلى عن على ض أي رقم معقد مع موجب حقيقة جزء. سبب صحة هذا هو نتيجة مباشرة لصيغة وظيفة غاما. باستخدام التكامل بالأجزاء يمكننا تحديد هذه الخاصية لوظيفة غاما.