ال الوسيط لمجموعة من البيانات هي نقطة المنتصف حيث نصف قيم البيانات بالضبط أقل من أو يساوي الوسيط. بطريقة مماثلة ، يمكننا التفكير في وسيط مستمرتوزيع الاحتمالات، ولكن بدلاً من العثور على القيمة الوسطى في مجموعة من البيانات ، نجد منتصف التوزيع بطريقة مختلفة.
المساحة الإجمالية في دالة الكثافة الاحتمالية هي 1 ، تمثل 100٪ ، ونتيجة لذلك ، يمكن تمثيل نصف ذلك بنصف أو 50 بالمائة. واحدة من الأفكار الكبيرة للإحصاءات الرياضية هو أن الاحتمالية تمثل المنطقة تحت منحنى دالة الكثافة ، والتي يتم حسابها بواسطة تكامل ، وبالتالي فإن متوسط التوزيع المستمر هو النقطة ال عدد حقيقي خط حيث يقع نصف المساحة بالضبط إلى اليسار.
يمكن ذكر ذلك بإيجاز من خلال التكامل غير السليم التالي. متوسط المتغير العشوائي المستمر X مع وظيفة الكثافة F( س) هي القيمة M بحيث:
0.5=∫م−∞F(س)دس
متوسط التوزيع الأسي
نقوم الآن بحساب المتوسط للتوزيع الأسي Exp (A). متغير عشوائي مع هذا التوزيع له دالة كثافة F(س) = ه-س/أ/ A لـ س أي رقم حقيقي غير سالب. تحتوي الوظيفة أيضا على ثابت رياضي ه، يساوي 2.71828 تقريبًا.
بما أن دالة كثافة الاحتمال تساوي صفر لأي قيمة سالبة س، كل ما يجب علينا القيام به هو دمج ما يلي وحل M:
0.5 = ∫0M f (x) dx
منذ التكامل ∫ ه-س/أ/ميلاديس = -ه-س/أوالنتيجة هي ذلك
0.5 = -e-M / A + 1
هذا يعني أن 0.5 = ه-M / A وبعد أخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي المعادلة يكون لدينا:
ln (1/2) = -M / A
منذ 1/2 = 2-1، بواسطة خصائص اللوغاريتمات التي نكتبها:
- ln2 = -M / A
إن ضرب كلا الطرفين في A يعطينا النتيجة التي تمثل الوسيط M = A ln2.
متوسط عدم المساواة في الإحصاءات
يجب ذكر إحدى نتائج هذه النتيجة: متوسط التوزيع الأسي Exp (A) هو A ، وبما أن ln2 أقل من 1 ، فيتبع ذلك أن المنتج Aln2 أقل من A. هذا يعني أن متوسط التوزيع الأسي أقل من المتوسط.
هذا منطقي إذا فكرنا في الرسم البياني لدالة كثافة الاحتمال. بسبب الذيل الطويل ، فإن هذا التوزيع منحرف إلى اليمين. في كثير من الأحيان عندما يكون التوزيع منحرفًا إلى اليمين ، فإن الوسط يكون على يمين الوسيط.
ما يعنيه هذا من حيث التحليل الإحصائي هو أنه يمكننا في كثير من الأحيان التنبؤ بأن المتوسط والوسيط لا يفعلان ذلك بشكل مباشر الارتباط بالنظر إلى احتمال انحراف البيانات إلى اليمين ، والذي يمكن التعبير عنه كدليل متوسط على عدم المساواة معروف ك عدم المساواة في Chebyshev.
كمثال ، ضع في اعتبارك مجموعة بيانات تفترض أن الشخص يتلقى ما مجموعه 30 زائرًا في 10 ساعات ، حيث متوسط وقت الانتظار للزائر هو 20 دقيقة ، في حين أن مجموعة البيانات قد تظهر أن متوسط وقت الانتظار سيكون في مكان ما بين 20 و 30 دقيقة إذا جاء أكثر من نصف هؤلاء الزوار في الخمسة الأولى ساعات.